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| Aufgabe | Sei [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] mit [mm] sgn(\sigma)=-1. [/mm] Beweisen sie, dass die Ordnung von [mm] \sigma [/mm] eine gerade Zahl ist.
Gilt die Umkehrung dieser Aussage? |
Hallo und schöne Pfingsten,
also der zweite Teil lässt sich ja leicht durch ein Gegenbsp. erledigen...
Und beim ersten Teil habe ich mir überlegt, dass ein einziger Fehlstand, also eine Vertauschung von zwei Zahlen doch schon dafür sorgt, dass die Ordnung [mm] ord(\sigma)=2*... [/mm] lautet und somit eine gerade Zahl ist, oder?
Und min. eine Vertauschung sorgt ja dann auch für [mm] sgn(\sigma)=-1, [/mm] oder?
Damit sieht man dann ja auch schon hier, dass die andere Richtung nicht funktioniert, oder?
Denke ich da schon in die richtige Richtung oder liege ich völlig daneben?
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Hi,
> Sei [mm]\sigma \in S_{n}[/mm] mit [mm]sgn(\sigma)=-1.[/mm] Beweisen sie, dass
> die Ordnung von [mm]\sigma[/mm] eine gerade Zahl ist.
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> Gilt die Umkehrung dieser Aussage?
> Hallo und schöne Pfingsten,
>
> also der zweite Teil lässt sich ja leicht durch ein
> Gegenbsp. erledigen...
>
> Und beim ersten Teil habe ich mir überlegt, dass ein
> einziger Fehlstand, also eine Vertauschung von zwei Zahlen
> doch schon dafür sorgt, dass die Ordnung [mm]ord(\sigma)=2*...[/mm]
> lautet und somit eine gerade Zahl ist, oder?
> Und min. eine Vertauschung sorgt ja dann auch für
> [mm]sgn(\sigma)=-1,[/mm] oder?
machs nicht so kompliziert
Die Abbildung [mm] $\operatorname{sgn}:G\to\{-1,1\},\quad \tau \mapsto \operatorname{sgn}(\tau)$ [/mm] ist ein HM und welches Vorzeichen hat [mm] $\sigma^k$, [/mm] wenn k ist die Ordnung von [mm] $\sigma$ [/mm] ist.
gruß
wieschoo
> Damit sieht man dann ja auch schon hier, dass die andere
> Richtung nicht funktioniert, oder?
>
> Denke ich da schon in die richtige Richtung oder liege ich
> völlig daneben?
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Das verstehe ich gerade leider gar nicht, kann mir das nochmal etwas genauer erklärt werden?
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Sei [mm]\sigma \in S_n[/mm] mit Ordnung k, d.h. [mm]\sigma^k=e[/mm].
z.z. k ist gerade
Beweis:
du weißt
[mm]1=sgn(e)=\blue{sgn(\sigma^k)}[/mm]
Und des Weiteren gilt [mm]\green{sgn(ab)=sgn(a)*sgn(b)}[/mm] für [mm]a,b\in S_n[/mm]. Wie kannst du [mm]\blue{sgn(\sigma^k)}[/mm] also noch schreiben? Anders gefragt: Wie sieht [mm] $\green{sgn(ab)=sgn(a)*sgn(b)}$ [/mm] für a=b aus?
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Ok danke, ich habe das dann mal etwas weiter ausformuliert:
1= [mm] sgn(e)=sgn(\sigma^k)=sgn(\sigma)*...*sgn(\sigma)=sgn(\sigma)^k=(-1)^k
[/mm]
[mm] 1=(-1)^k \gdw [/mm] k ist gerade
Stimmt das so?
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So passt es.
Schönen Feiertag
wieschoo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Jo super, nach der Vorarbeit aber auch nicht mehr schwer...
Danke und auch noch einen schönen Tag. :)
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