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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Mo 27.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo!
Ich will mal wieder die Gemeinschaft bemühen, komme nicht so recht weiter
Also erstens :
Zu zeigen ist, daß die Inverse aus dem Produkt einer Matrix mit seiner Transponierten immer symmetrisch ist. Wie fängt man hier und bei ähnlich
gestalteten Aufgaben an? ( Beweise über Abbildungen werden bei uns nicht geführt : ) ... )
Und zweitens :
Wie zeigt man, daß die Summe zweier quasikonkaver Funktionen manchmal quasikonkav ist, es aber nicht sein muß? ( Gilt dies dann
entsprechend auch für die Differenz zweier quasikonkaver Funktionen,
und wie sieht es bei quasikonvexen Funktionen aus? Vermutlich werde
ich das ja anhand des Lösungsweges für quasikonkave Funktionen dann selber rauskriegen...
Vielen Dank and good night!
eini
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Hallo eini,
> Also erstens :
>
> Zu zeigen ist, daß die Inverse aus dem Produkt einer Matrix
> mit seiner Transponierten immer symmetrisch ist. Wie fängt
> man hier und bei ähnlich
> gestalteten Aufgaben an? ( Beweise über Abbildungen werden
> bei uns nicht geführt : ) ... )
Hier erstmal nur die Beweisidee:
Sei A eine Matrix und [mm] A^t [/mm] ihre Transponierte. Dann kannst du durch direkte Anwendung der Definition (B symmetrisch <=> [mm] $B^t=B$) [/mm] zeigen, dass [mm] A*A^t [/mm] symmetrisch ist. Dazu musst du wissen, wie die Transponierte eines Produkts aussieht. Wenn du das (noch) nicht weisst, dann einfach schreien. 
Danach kannst du zeigen, dass die Inverse einer symmetrischen Matrix selbst symmetrisch ist (mit der Definition der Inversen als die eindeutig bestimmte Matrix B mit der Eigenschaft A*B = B*A = E).
Das wär der Ansatz. Möchtest du den Beweis mal probieren? Wir alle hier geben dir auch Hilfestellung.
Die zweite Frage beantworte ich erstmal nicht, weil ich den Begriff "quasikonkav" nicht kenne und du ihn mir erstmal definieren müsstest. Ich kenne nur "konkav" und "streng konkav" und frage mich gerade, ob dein "quasikonkav" dann mein "konkav" ist. *ggg*
Lieben Gruss,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Di 28.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich kannte den Begriff auch nicht, habe jetzt aber mal die Wikipedia bemüht. Da heißt es ![[]](/images/popup.gif) hier:
Eine Funktion $f: [mm] \IR^n \supset [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] heißt quasikonkav, wenn die Mengen
[mm] $\{x \in D\, :\, f(x) \ge a\}$
[/mm]
konvex oder leer für alle $a [mm] \in \IR$ [/mm] sind.
Woanders habe ich dann noch das naheliegende Äquivalent gefunden:
Eine Funktion $f: [mm] \IR^n \supset [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] heißt quasikonvex, wenn die Mengen
[mm] $\{x \in D\, :\, f(x) \le a\}$
[/mm]
konvex oder leer für alle $a [mm] \in \IR$ [/mm] sind.
Also wie bei den gewohnten Konvexitätsbegriffen: $f$ ist quasikonkav, wenn $-f$ quasikonvex ist.
Und, auch interessant:
$f$ ist quasikonvex genau dann, wenn
[mm] $f(\alpha [/mm] x + [mm] (1-\alpha)y) \le \max\{f(x),f(y)\}$
[/mm]
für alle [mm] $\alpha \in [/mm] ]0,1[$ gilt.
Vielleicht kann ich (oder jemand anderes) damit ja dann später die Frage beantworten.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Wolfgang,
nachdem jetzt geklärt ist, was "quasikonkav" heißt, können wir diese Aufgabe angehen.
Um zu zeigen, dass etwas manchmal gilt und manchmal nicht, genügt es, für jeden der beiden Fälle ein Beispiel anzugeben, hier also:
1. zwei quasikonkave Funktionen, deren Summe quasikonkav ist,
2. zwei quasikonkave Funktionen, deren Summe nicht quasikonkav ist.
Genauso verfährst du in den anderen Aufgabenteilen (die Summe zweier quasikonvexer Funktionen erhältst du direkt durch Negation; die Differenz müsste getrennt untersucht werden, sie kann vermutlich alles sein: quasikonvex, quasikonkav, keins, beides).
Wie man nun ein solches Beispiel findet, ist eine andere Sache.
Für 1. sollte eine quasikonkave Funktion ausreichen, die zu sich selbst addiert wird.
Für 2. sollten zwei weit genug gegeneinander verschobene Zacken ausreichen:
Eine Funktion sieht so aus:
_ /\ _ _ _
Die andere Funktion sieht so aus:
_ _ _ /\ _
Die Summe ist dann dies:
_ /\ _ /\ _
Wenn ich die Definition richtig verstanden habe, sollte das ein geeignetes Beispiel sein.
Wenn du es genauer wissen möchtest oder ich mich vertan hab, frag nach.
Gruss,
SirJective
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