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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Sa 19.08.2006 | | Autor: | Myra82 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der Graph der Fkt f zum Punkt P symmetrisch ist!
f(x)=2hochx - 2hoch2-x P(1/0) |
Hallo!
Die allgemeine Formel lautet: f(x+h)+f(x-h)=2*f(x)
Ich weiß nicht wieso, aber ich komm bei dieser Aufgabe nicht aufs Ergebnis!
Vielen Dank für die Hilfe!
MFG!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Sa 19.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Gegeben ist eine Funktion gemäß [mm] f(x)=2^{x}-2^{2-x}. [/mm] Jetzt sollen wir zeigen, dass sie symmetrisch ist zum Punkt $P(1|0)$.
Grunsätzlich gibt es ja zwei Arten von Symmetrien...
1) Achsensymmetrie bzgl. y-Achse, es gilt $f(x)=f(-x)$ (Bsp.: Normalparabel)
2) Punktsymmetrie bzgl. Ursprung, es gilt $f(x)=-f(-x)$ (Bsp.: [mm] f(x)=x^{3})
[/mm]
Am sinnvollsten erachte ich es nun, wie folgt vorzugehen...
Wir verschieben die Funktion f(x) in den Ursprung (d.h. die Funktion so verschieben, dass der Punkt P im Ursprung landet), und testen mit Bedingung 2) ob diese verschobene Funktion symmetrisch zum Ursprung ist. Ist sie das, ist auch die Ursprungsfunktion symmetrisch zu P.
Also, wir verschieben die Funktion...
Wie du sicher weißt, lässt sich die Funktion wie folgt verschieben (hier brauchen wir ja nur eine Verschiebung entlang der x-Achse!):
f(x+1) ist unsere neue Funktion, sie heiße g(x). Also ist
[mm] g(x)=2^{x+1}-2^{2-(x+1)}=2^{x+1}-2^{1-x}
[/mm]
Und diese Funktion prüfen wir nun. Dazu berechnen wir:
[mm] -g(-x)=-(2^{-x+1}-2^{1-(-x)})=-(2^{1-x}-2^{1+x})=-(2^{1-x}-2^{x+1})=2^{x+1}-2^{1-x}=g(x)
[/mm]
Passt! Also ist g(x) symmetrisch zum Koordinatenursprung, woraus folgt: Die Funktion f(x) war schon symmetrisch zum Punkt P!
Dieses Verfahrne klappt bei solchen Aufgabenstellungen immer. Und falls Symmetrie bzgl. einer Parallelen zur y-Achse gefragt ist, kann man z.B. die Funktion entsprechend so verschieben, dass die gefragte Achse mit der y-Achse zusammenfällt.
Hoffe das hilft weiter!
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 So 20.08.2006 | | Autor: | Myra82 |
Hey Du!
Vielen lieben Dank! Du hast mir sehr geholfen....
LG! Myra
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