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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Symmetrie einer Arkusfunktion
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Symmetrie einer Arkusfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Do 29.11.2007
Autor: raycluster

Aufgabe
Weisen Sie die Punktsymmetrie der Funktion f: x--> [mm] arctan(e^x) [/mm] zum Punkt (0|PI/4) nach.

Grüß euch :)

Ich hab echt 0 Plan was ich machen soll.
Ich bin davon ausgegangen dass für eine Punktsymmetrie gelten muss:
f(x)=-f(-x)
[mm] arctan(e^x) [/mm] = -arctan(e^-x)

Wie man das nachweist, weis ich aber leider ned. Irgendwelche Ideen?

        
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Symmetrie einer Arkusfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Do 29.11.2007
Autor: M.Rex

Hallo


Ist eine Funktion Punktsymmetrisch zu P(a/b), gilt:

f(2a-x)=2b - f(x)
oder auch
f(a+x)+f(a-x)=2b

und das gilt für beliebige x

Deine Formel f(x)=-f(-x) gilt nür für die Punktsymmetrie zum Ursprung.

Hier ist [mm] f(x)=arctan(e^{x}) [/mm] und [mm] P(0;\bruch{\pi}{4}) [/mm]

Also ist zu zeigen:

[mm] arctan(e^{0+x})+arctan(e^{0-x})=2*\bruch{\pi}{4} [/mm]
[mm] \gdw arctan(e^{x})+arctan(e^{-x})=\bruch{\pi}{2} [/mm]


Marius

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Symmetrie einer Arkusfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Do 29.11.2007
Autor: raycluster

Tut mir Leid ich hatte mich verschrieben. Mein Ansatz war
[mm] arctan(e^x)+Pi/4=-arctan(e^{-x}) [/mm] - Pi/4

Von hier an weis ich leider nicht weiter.

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Symmetrie einer Arkusfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Do 29.11.2007
Autor: raycluster

Ich habe eine Ansatz:
Ich habe die Ableitung übeprüft, die dürfte laut Maple achsensymmetrisch sein. Kann ich daraus schließen, dass f punktsymmetrisch ist? Und da bei der Stelle 0 nachweislich die Übeprüfung ergibt, dass besagte Summe Pi/2 ist, ist daraus doch zu schließen, dass f punktsymmetrisch ist zu Pi/4 oder???

Bezug
                                
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Symmetrie einer Arkusfunktion: (umständliche) Rechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Do 29.11.2007
Autor: Loddar

Hallo raycluster!


Du hast Recht: Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion und umgekehrt.

Ich habe hier nun einen rechnerischen Weg gefunden, der aber zeimlich aufwändig ist.

Zu zeigen ist: [mm] $\arctan\left(e^x\right)+\arctan\left(e^{-x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm]

Draus klann man auch machen:
[mm] $$\cos\left[\arctan\left(e^x\right)+\arctan\left(e^{-x}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \cos\left(\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] \ = \ 0$$

Nun benötigen wir zunächst das Additionstheorem für den [mm] $\cos$ [/mm] mit [mm] $\cos(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\alpha)*\sin(\beta)$ [/mm] .

Und folgende Beziehungen:
[mm] $$\cos[\arctan(\alpha)] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\alpha^2}}$$ [/mm]
[mm] $$\sin[\arctan(\alpha)] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\alpha}{\wurzel{1+\alpha^2}}$$ [/mm]

Viel Spaß dabei ... ;-)


Gruß
Loddar


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Symmetrie einer Arkusfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Sa 01.12.2007
Autor: raycluster

Die Lösung finde ich an sich nicht schlecht, aber wie kommst du auf die beiden letzten Beziehungen? Hast du die hergeleitet? Weil die hab ich noch nie gesehen...

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Symmetrie einer Arkusfunktion: Formelsammlung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Sa 01.12.2007
Autor: Loddar

Hallo raycluster!


Diese Gleichungen habe ich nicht hergeleitet sondern einer Formelsammlung entnommen.


Gruß
Loddar


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