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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mi 27.04.2022 | | Autor: | appo13 |
| Aufgabe | | Überprüfe die Funktion auf Symmetrie: f(x)= [mm] (x^2+2x):(x+2) [/mm] |
Ich habe heute an dieser Aufgabe erstmal mit einer Funktionsuntersuchung angefangen und habe festgestellt, dass die Funktion für x=-2 eine hebbare Lücke hat.
Nach Linearfaktorzerlegung und kürzen ergibt sich ja ((x+2)x):(x+2).
Es bleibt also nur x im Zähler stehen und genau so sieht die Funktion ja auch aus, wenn ich sie zeichne. Wie eine Gerade mit y=x Sie ist also punkysmmetrisch zum Ursprung.
Wende ich allerdings den Satz zur Überpfung der Symmetrie an: f(-x)=-f(x), komme ich nach Umformen leider nicht auf das gewünschte Ergebnis.
Es ist ja: f(-x)= [mm] ((-x)^2 [/mm] - 2x) : (-x +2)= [mm] (x^2 [/mm] - 2x) : (-x+2)
Und es ist -f(x)= [mm] (-x^2 [/mm] - 2x) : (x +2)
Wieso finde ich die Symmetrie mit der Regel nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mi 27.04.2022 | | Autor: | statler |
Hi!
> Wieso finde ich die Symmetrie mit der Regel nicht?
Weil du nicht zu Ende gerechnet hast. Führ die beiden Polynomdivisionen doch mal aus.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mi 27.04.2022 | | Autor: | appo13 |
Hi. Ok, ich erhalte beide Male -x als Ergebnis, womit die Symmetrie gezeigt wäre.
Soll ich das als Regel übernehmen? z.B.
"Wenn ich nach Einsetzung der (-x) bei der Symmetrie Regel kein Anzeichen auf Symmetrie habe, dann wende Polynomdivision an?"
Habe das bisher noch nie so gemacht. Also die Polynomdivision für die Symmetrie durchgeführt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mi 27.04.2022 | | Autor: | statler |
> Hi. Ok, ich erhalte beide Male -x als Ergebnis, womit die
> Symmetrie gezeigt wäre.
>
> Soll ich das als Regel übernehmen? z.B.
> "Wenn ich nach Einsetzung der (-x) bei der Symmetrie Regel
> kein Anzeichen auf Symmetrie habe, dann wende
> Polynomdivision an?"
>
> Habe das bisher noch nie so gemacht. Also die
> Polynomdivision für die Symmetrie durchgeführt.
f(-x) = -f(x) bedeutet, daß sich für alle x'e aus dem Definitionsbereich links und rechts der gleiche Wert ergibt. Es bedeutet nicht, daß die 'Rechenterme' gleich aussehen. Termumformungen sind natürlich erlaubt und manchmal auch nötig, je nachdem. Wie du an Freds Beitrag unten siehst, war die Termumformung hier in Wirklichkeit das Kürzen eines Bruchs, genauer zweier Brüche.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mi 27.04.2022 | | Autor: | appo13 |
Danke. Das erklärt einiges. Die Frage ist halt immer nur, in wie weit einer dieses "jenachdem" zu erkennen vermag. Soll heißen, "wann ist schluss mit der Termumformung?" Ich suche immer nach Faustregeln und Merksätzen. Vielleicht lässt sich da was finden.
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Bei einem Bruchterm kannst du folgendes versuchen: Wenn der Nenner eine Nullstelle hat, liegt eine Definitionslücke vor. Die Nullstelle kannst du durch Polynomdivision im Nenner vorklammern. Hat der Zähler dort auch eine Nullstelle, kannst du sie dort auch ausklammern und dann wegkürzen. Bei Mehrfach-Nullstellen den Vorgang wiederholen.
Die so durch Kürzen vereinfachte Funktion kannst du nun auf alles Mögliche untersuchen (Nullstellen, Polstellen, Hoch-, Tief-, Sattel-, Wendepunkte, Verlauf nach [mm] \infty [/mm] ...), sie stimmt bis auf die Definitionslücken mit der Ausgangsfunktion überein.
Beispiel (Nullstellen in Zähler und Nenner schon ausgeklammert):
f(x) = [mm] \bruch{x^3(x-2)^4(x+6)^3}{x(x+3)^2(x-2)(x+6)^3}
[/mm]
gekürzt zu
f*(x) = [mm] \bruch{x^2(x-2)^3}{(x+3)^2}
[/mm]
hat bei x = 0 eine doppelte Nullstelle, also einen H- oder T-Punkt, der aber nicht zur Definitionsmenge gehört,
hat bei x=2 eine dreifache Nullstelle, also einen S-Punkt, der ebenfalls nicht zur Definitionsmenge gehört
hat bei x=-3 eine doppelte Polstelle, also ohne VZW
hat bei x=-6 eine Definitionslücke, hebbar durch f(-6)= [mm] \bruch{(-6)^2(-8)^3}{(-3)^2}
[/mm]
Nicht immer kann man aber die Vereinfachung sehen:
[mm] \bruch{x^4 + 4x^3 + 7x^2 +4x + 6}{6x^4 + 7x^2 + 1} [/mm] = [mm] \bruch{(x^2 + 4x + 6)(x^2 + 1)}{(6x^2 + 1)(x^2 + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{x^2 + 4x + 6}{6x^2 + 1} [/mm] ohne Nullstellen in Zähler oder Nenner.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mi 27.04.2022 | | Autor: | fred97 |
Zu zeigen ist, dass
$ (*) [mm] \quad \frac{x^2-2x}{-x+2}= [/mm] - [mm] \frac{x^2+2x}{x+2}$
[/mm]
ist für $x [mm] \ne \pm [/mm] 2.$
Für $x=0$ ist das klar. Sei also $x [mm] \ne [/mm] 0.$ Dann
$ (*) [mm] \quad \gdw \frac{x-2}{-x+2}= [/mm] - [mm] \frac{x+2}{x+2}$.
[/mm]
Alles klar ?
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> Es ist ja: f(-x)= [mm]((-x)^2[/mm] - 2x) : (-x +2)= [mm](x^2[/mm] - 2x) :
> (-x+2)
>
> Und es ist -f(x)= [mm](-x^2[/mm] - 2x) : (x +2)
>
> Wieso finde ich die Symmetrie mit der Regel nicht?
Bei manchen Funktionstermen kannst du die Gleichheit sofort erkennen (z.B. bei Polynomen), bei anderen nicht.
Einfacher als Polynomdivision ist hier die Gleichsetzung und das Ausmultiplizieren:
f(-x)= [mm]((-x)^2[/mm] - 2x) : (-x +2)
-f(x)= [mm](-x^2[/mm] - 2x) : (x +2)
[mm] \bruch{x^2-2x}{-x+2}=\bruch{-x^2-2x}{x+2} [/mm] |*(-x+2)*(x+2)
[mm] (x^2-2x)(x+2)=(-x^2-2x)(-x+2)
[/mm]
[mm] x^3-2x^2+2x^2-4x=x^3+2x^2-2x^2-4x [/mm] Gleichheit!
Die Funktion ist aber nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, wie du jetzt vielleicht annimmst.
Sie hat bei x=-2 eine Definitionslücke, bei x=2 aber nicht.
Zwar ist diese Lücke stetig schließbar, aber zunächst vorhanden.
Die Funktion ist aber punktsymmetrisch zu P(-2|-2), dann ist der Lückenpunkt der Symmetriepunkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Fr 29.04.2022 | | Autor: | appo13 |
Auch das noch! Was für eine Falle.
Aber das kommt davon, wenn man die Symmetrie überprüfen will und das Lehrbuch die Funktion für diese Aufgabe garnicht vorsieht.
Danke für die Klärung!
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