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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:04 Mi 28.09.2016 | | Autor: | Kubikon |
Hallo zusammen! Ich verstehe nicht ganz, wie man zeigen kann, dass die Symmetriegruppe eines archimedischen Körpers auf der Eckenmenge transitiv operiert. Ich sollte anscheinend über den Bahnenbegriff und Stabilisator gehen, damit kenn ich mich aber nicht ganz so gut aus.
Würde mich über ein wenig Hilfe sehr freuen, danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 Mi 28.09.2016 | | Autor: | hippias |
Naja, da würde ich mich natürlich ersteinmal mit den Begriffen vertraut machen, die Du nicht kennst. Ich könnte mir aber gut vorstellen, dass man die Transitivität auch durch Konstruktion geeigneter Bijektionen herausbekommen kann. Z.B. etwa so: beim Würfel ist die Drehung um die eine Achse eine Symmetrie, ebenso die Drehung um eine andere Achse. Folglich ist die Operation transitiv.
Um welchen Archimedischen Körper geht es denn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Mi 28.09.2016 | | Autor: | Kubikon |
Konkret wollte ich mir das an dem großen Rhombenikosidodekaeder überlegen.
Zu den Begriffen: Bei einem Würfel ist die Bahn ja die Eckenmenge, enthält also 8 Elemente, und der Stabilisator entspricht den Symmetrieoperationen, die eine Ecke an einem Platz lassen. Wenn man also die Drehgruppe des Würfels bestimmen möchte, hat die Stabilisator-Untergruppe dann die Ordnung 3., macht 8*3=24 Elemente.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 28.09.2016 | | Autor: | hippias |
Ich verstehe nicht ganz, was Du mir mit dem Beispiel zum Würfel sagen möchtest: als Nachweis, dass die Symmetriewürfel transitiv auf den Ecken ist, sind diese Rechnungen nicht geeignet, da Du ja als Bahnlänge $8$ voraussetzt. Ferner setzt Du die Ordnung der Symmetriegruppe als bekannt voraus. Ist Dir die Ordnung der Symmetriegruppe des Rhombenikosidodekaeders denn auch bekannt?
Meine Idee, die ich anhand des Würfels illustrieren wollte, und die ich dann auf den anderen Körper versuchen würde zu übertragen, lautet etwas ausführlicher wie folgt.
Zu jeder Seitenfläche gibt es eine Symmetrie, die die Seitenfläche um [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] dreht; sei dies [mm] $\sigma$ [/mm] für die Deckelfläche und [mm] $\tau$ [/mm] für die Vorderseite.
Es sei $H$ die von [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] erzeugte Untergruppe und sei $P$ ein Eckpunkt, der zum Deckel und zur Vorderseite gehört.
Die Bahn $X:= [mm] P^{H}$ [/mm] von $P$ unter $H$ enthält die $4$ Eckpunkte der Seiten- und Deckelfläche, weil $H$ die Drehungen [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] enthält.
Damit ist [mm] $|X|\geq [/mm] 4+4-2= 6$. Das ist aber nicht alles, denn $Q:= [mm] P^{\sigma^{2}}$ [/mm] liegt $P$ diagonal gegenüber, sodass [mm] $Q^{\tau^{2}}$ [/mm] der $Q$ diagonal gegenüberliegende Punkt der Rückseite ist. Damit enthält $X$ auch den Punkt [mm] $Q^{\tau^{2}}$, [/mm] der unter den bereits gezählten $6$ nicht mitgezählt wurde.
Damit folgt $|X|= 8$.
Ich habe also keine Information über Stabilisatoren und die Ordung der Symmetriegruppe benutzt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Do 29.09.2016 | | Autor: | Kubikon |
Danke für die Antwort!
Beim großen Rhombenikosidodekaeder muss man dann ja zeigen, dass die Bahn X die Ordnung 120.
Man kann ja beispielsweise zu jedem der 12 Zehnecke eine Symmetrie finden, die die Seitenfläche um 4*pi/5 dreht und so die Ecken ineinander überführt.
Dann ist mir jedoch schon nicht klar, wie man weiter argumentieren sollte.
Ich würde einfach sagen, dass die Drehung, die ein Zehneck auf sich selbst abbildet, auch das diagonal gegenüberliegende Zehnecke auf sich selbst abbildet, also geht eine Drehachse durch die Flächenmittelpunkte der beiden Zehneck. Und da es ingesamt 6 davon gibt kommt man dann auf 120, aber das ist natürlich kein Beweis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Do 29.09.2016 | | Autor: | hippias |
Meiner Meinung nach hast Du wenigstens eine gute Begründung für die
transitive Operation geliefert. Ob tatsächlich mehr verlangt wird, kann ich
nicht beurteilen; unter Umständen kann dies aber reichen.
Für einen gestrengen Beweis muss man zuerst die Frage klären, was ein
Rhombenikosidodekaeder ist. Möglich ist eine Definition über eine
Beschreibung des Körpers im [mm] $\IR^{3}$. [/mm] Dann definierst Du die
Automorphismengruppe als Untergruppe der [mm] $O(\IR^{3})$ [/mm] und schliesslich gibst
Du die Symmetrien, die Du nur in Worten beschrieben hast, konkret als lineare
Abbildungen/ Matrizen an. Dann kannst Du nachrechnen, was Du beschrieben hast.
Mit diesem Modell lassen sich Stabilisatoren eventuell gut berechnen. Aber
vielleicht arbeitest Du auch mit einem mehr graphentheoretischen Modell.
Allgemein liefern Überlegungen a la:
jeder Punkt liegt auf einem Seitenflächentyp
die Operation ist transitiv auf diesen Seitenflächen
die Operation ist transitiv auf den Ecken dieser Seitenflächen
häufig die Transitivität auf den Ecken.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Do 29.09.2016 | | Autor: | Kubikon |
Wunderbar, vielen dank für deine Hilfe!
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