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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Di 11.12.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo,
ich habe ein Problemchen bei dieser Aufgabe :-( komme einfach nicht drauf...
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Für n > 1 Sei G die Symmetriegruppe des regelmäßigen n-Ecks in [mm] \IR^{2}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Ecken des n-Ecks, so dass diese den Einheitskreis schneiden.
b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen aller Elemente von G bzgl. Der Standardbasis des [mm] \IR^{2}
[/mm]
c) Zeigen Sie: Für gerade n gibt es zwei, für ungerade n genau eine Konjugiertenklasse von Spiegelungen in G (d.h. von Darstellungsmatrizen mit den Eigenwerten 1 und -1)
-----------
Also bei der a) habe ich mir folgendes überlegt, da das n-Eck ja den Einheitskreis schneiden soll, habe ich den Einheitskreis einfach gleichmäßig in mmh, wie nenn ich das, n große Pizzaschnitten aufgeteilt  also die Ecken befinden sich dann bei
$ (cos [mm] (\bruch{2 \pi a}{n}), [/mm] sin [mm] (\bruch{2 \pi a}{n})) [/mm] $ mit $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] n-1 $
ich hoffe das wäre so weit richtig, allerdings weiß ich nun nicht was mit Darstellungsmatrizen gemeint ist.
Ich weiß, dass in G Drehungen und Spiegelungen des n-Ecks drin sind, die dies wieder in sich selbst überführen. (oder?) Aber nun weiß ich nicht, wie ich eine allg. Darstellungsmatrix (naja ich weiß auch gar nicht genau wie ich da draufkommen soll) aufstellen soll, so dass es für alle mögl. Drehungen und Spiegelungen korrekt ist.
Also in Analysis hat man da immer eine lineare Abbildung gehat, die vorgibt, was mit jedem Punkt x,y [mm] \in \IR^{2} [/mm] zu tun ist und dann einfach die Bilder der Standardbasen in eine Matrix geschrieben... Nun weiß ich aber nicht, ob dies nun genau so klappt, vor allm was sind die Bilder der Standardbasen? Ich habe gedacht, es werden nur die Ecken verschoben alle anderen Punkte (wie z.B. [mm] e_{y} [/mm] ) bleiben gleich...
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Viele liebe Grüße
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Di 11.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Für n > 1 Sei G die Symmetriegruppe des regelmäßigen
> n-Ecks in [mm]\IR^{2}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Ecken des n-Ecks, so dass diese den
> Einheitskreis schneiden.
>
> b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen aller Elemente
> von G bzgl. Der Standardbasis des [mm]\IR^{2}[/mm]
>
> c) Zeigen Sie: Für gerade n gibt es zwei, für ungerade n
> genau eine Konjugiertenklasse von Spiegelungen in G (d.h.
> von Darstellungsmatrizen mit den Eigenwerten 1 und -1)
> -----------
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> Also bei der a) habe ich mir folgendes überlegt, da das
> n-Eck ja den Einheitskreis schneiden soll, habe ich den
> Einheitskreis einfach gleichmäßig in mmh, wie nenn ich das,
> n große Pizzaschnitten aufgeteilt also die Ecken
> befinden sich dann bei
>
> [mm](cos (\bruch{2 \pi a}{n}), sin (\bruch{2 \pi a}{n}))[/mm] mit [mm]0 \le a \le n-1[/mm]
>
> ich hoffe das wäre so weit richtig,
ja, das passt.
> allerdings weiß ich nun
> nicht was mit Darstellungsmatrizen gemeint ist.
>
> Ich weiß, dass in G Drehungen und Spiegelungen des n-Ecks
> drin sind, die dies wieder in sich selbst überführen.
> (oder?) Aber nun weiß ich nicht, wie ich eine allg.
> Darstellungsmatrix (naja ich weiß auch gar nicht genau wie
> ich da draufkommen soll) aufstellen soll, so dass es für
> alle mögl. Drehungen und Spiegelungen korrekt ist.
>
> Also in Analysis hat man da immer eine lineare Abbildung
> gehat, die vorgibt, was mit jedem Punkt x,y [mm]\in \IR^{2}[/mm] zu
> tun ist und dann einfach die Bilder der Standardbasen in
> eine Matrix geschrieben... Nun weiß ich aber nicht, ob dies
> nun genau so klappt, vor allm was sind die Bilder der
> Standardbasen? Ich habe gedacht, es werden nur die Ecken
> verschoben alle anderen Punkte (wie z.B. [mm]e_{y}[/mm] ) bleiben
> gleich...
im prinzip kann man das ja auch so auffassen, dass die ganze ebene [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] gedreht oder gespiegelt wird, so dass eben das $n$-eck wieder auf sich zu liegen kommt (da spricht doch nichts dagegegen, oder? - das andere wäre sogar etwas unnatürlich, da du ja dazu das $n$-eck ausschneiden würdest es drehen würdest, aber den rest der ebene liegen lässt und danach das $n$-eck wieder in die "form" einsetzen würdest).
hast du dir schon überlegt, um welchen winkel das $n$-eck gedreht werden darf, dass es sich um eine symmetrie handelt? dann helfen dir vielleicht allgemeine ![[]](/images/popup.gif) dreh-matrizen weiter (die gehen ja genau so hervor in dem du die beiden basisvektoren [mm] $e_x [/mm] = (1, [mm] 0)^t$ [/mm] und [mm] $e_y [/mm] = (0, [mm] 1)^t$ [/mm] nimmst, um den winkel [mm] $\alpha$ [/mm] drehst und dann in die spalten der matrix schreibtst).
schau mal, ob dir das schon weiterhilft.
grüße
andreas
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achso, stimmt ja klar 
Die "normale" Drehmatrix, hab ich ganz vergessen
Also ich habe mir überlegt, eigentlich darf man ja nur um ein Vielfaches des Winkels [mm] \bruch{2\pi}{n} [/mm] drehen, damit hat man dann praktisch ein Eck auf ein anderes gedreht...
Also gibt es praktisch n versch. Elemente in G die die Drehung beschreiben und jedes "Dreh"Element besitzt die Darstellungsmatrix:
[mm] \pmat{ cos(k*\bruch{2\pi}{n}) & -sin(k*\bruch{2\pi}{n}) \\ sin(k*\bruch{2\pi}{n}) & cos(k*\bruch{2\pi}{n}) }
[/mm]
mit 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1
Stimmt meine Überlegung bis hierhin?
Nur weiß ich jetzt nicht, was ich mit den Spiegelungen machen soll... Wie sieht solch eine Matrix aus? Und sind es wirklich "nur" n Drehelemente in G? Spiegelungen müsste es ja dann so viele geben wie viele Achsen man einzeichnen kann, das heißt [mm] \bruch{n}{2} [/mm] oder? aber was ist wenn n ungerade? wenn n ungerade gibt es doch sogar n Spiegelungen, oder liege ich da falsch, ich hab mir das ganze mal an einem Dreieck angeschaut, also praktisch immer von der Spitze einer Ecke zur Basis und da bekomme ich dann 2 mögliche Spiegelachsen, wobei ich bei einem mmh ok vergisst die [mm] \bruch{n}{2} [/mm] bei geradem n, bei einem 8-Eck sind es ja auch 8 Achsen (hab ich gerade gesehen ) hab nämlich nur die Achsen gezählt, die durch die Ecken gehen, aber es kann ja auch von Mittelpunkt einer Kante zur gegenüberligenden Kante sein.
na gut, jetzt weiß ich wenigstens, dass es 2*n Elemente in G sind, oder? allerdings wird mir immer noch nicht klar, wie ich nun auf die "Spiegelungsmatrix" für das n-Eck komme... vor allm bei den vielen Achsen eine allg. Matrix zu finden...
Ich hoffe da könnt ihr mir noch mal ein wenig unter die Arme greifen, aber trotzdem vielen Dank für diesen kleinen "Schubs"
Viele liebe Grüße
Caro
EDIT:
Ok, ich hab mir nochmal Gedanken über die Spiegelungsmatrizen gemacht und mir wurde klar, dass wir uns ja in einem Einheitskreis befinden, also die Vektoren zu den Eckpunkten normiert sind, deswegen bekommt man ganz einfach für den Winkel (was ja irgendwie klar ist) von einem Vektor zur x-Achse [mm] \bruch{2 \pi a}{n} [/mm] heraus... dann habe ich mal die Einheitsvektoren um diesen Vektor gespiegelt und bin dann auf folgende Matrix gekommen:
[mm] \pmat{ cos(k*\bruch{4\pi}{n}) & sin(k*\bruch{4\pi}{n}) \\ sin(k*\bruch{4\pi}{n}) & -cos(k*\bruch{4\pi}{n}) }
[/mm]
auch wieder mit 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1
Hoffe nun, dass meine Überlegungen richtig sind (irgendwie sind sie logisch ) Allerdings hänge ich bei der c) hoffe ihr könnt mir da auch noch helfen...
EDIT2:
Oooh wie dumm :-D oben beschriebe ich noch so schön meinen Gedankengang und jetzt hab ich in der Spiegelungsmatrix den gleichen Fehler nochmal gemacht... Ich hab nur die Achsen berücksichtigt, die durch die Eckpunkte des n-Ecks gehen und dann auch noch 2 mal, wie peinlich... also die Argumente der Spiegelungsmatrix (2. Matrix) müssten noch halbiert werden und das wäre dann alles... Ich hoffe jetzt ist es aber richtig so, das war die letzte EDIT für heute, ich geh jetzt schlafen
LG und Gute Nacht
Caro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Do 13.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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