Symmetrische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Sa 18.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | I) Gegeben sei die Menge X={1,2,3}. Bestimmen Sie alle Untergruppen von Sym(X).
II) Für [mm] $i\neq j\in [/mm] Sym(X)$ die Permutation, die das Element i mit j vertauscht und alle übrigen Elemente fest lässt. Zeigen Sie, dass gilt:
[mm] $\langle\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\rangle=Sym(X)$ [/mm] |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. In der ersten Aufgabe soll ich alle Untergruppen der symmetrischen Gruppe angeben. Leider weiß ich nicht so recht wie ich dabei vorzugehen habe. Die symmetrische Gruppe hat ja die Verknüpfung der Komposition.
Eine Untergruppe muss drei Eigenschaften erfüllen:
1) das neutral Element ist enthalten
2) Die Untergruppe ist abgeschlossen
3) Es existiert für alle Elemente der Untergruppe auch ihr Inverses in der Untergruppe.
Insgesamt ist |Sym(X)|=3!=6
Ich kann also 6 bijektive Abbildung angeben, welche Sym(X) enthält. Das ist auch kein Problem.
Muss ich von diesen 6 Abbildungen nun diese finden, welche die Untergruppenkriterien erfüllen?
Abgeschlossen sind sie alle.
Ich muss nun jene finden für die gilt:
f(f(x))=x
Das wäre die Identität die Abbildung
f(1)=1
f(2)=3
f(3)=2
und
f(1)=2
f(2)=1
f(3)=3
Für mehr gilt diese Beziehung nicht.
Wäre das so korrekt?
Danke.
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1)
Wie soll denn eine Abbildung die Untergruppenkriterien erfüllen?? Du musst von den [mm] 2^6 [/mm] Teilmengen alle finden, welche die Untergruppenkriterien erfüllen. Sicherlich haben wir die triviale UG und die Gruppe selbst.
Für jede Transposition $(i, j) $ ist [mm] $\{1, (i, j)\} [/mm] eine UG - wieso? Das macht schonmal $3$ weitere UG.
Für jede fixpunktfreie Permutation [mm] $\sigma [/mm] $ ist [mm] $\{1,\sigma,\sigma^2\} [/mm] $ eine UG mit 3 Elementen - wieso? Von dieser Bauart gibt es nur ein Stück. Wieso?
Enthält eine UG eine Transposition und eine fixpunktfreie Permutation, so ist die UG schon die ganze Gruppe. Wieso?
2. Zeige, dass die Gruppe auf der linken Seite des = eine fixpunktfreie Permutation enthält und verwende den letzten Absatz, den ich zu 1) geschrieben habe.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Sa 18.10.2014 | | Autor: | YuSul |
"Für jede Transposition $(i, j)$ ist [mm] $\{1, (i, j)\}$ [/mm] eine UG - wieso? Das macht schonmal $3$ weitere UG."
Ich gehe mal davon aus, dass [mm] $\{1, (i,j)\}$ [/mm] die Menge meint, die das neutrale Element enthält und die Permutation welche das Element i mit j vertauscht.
Edit: Ich glaube hier stand Quatsch...
Also zu erst einmal muss in jeder Untergruppe die identische Abbildung enthalten sein.
Dann muss noch zu jeder Abbildung ein Inverses vorhanden sein. Die Abgeschlossenheit bezüglich der Komposition sollte doch immer gegeben sein?
Die trivialen Untergruppen sind immer die Gruppe selbst, also Sym(X) und das neutral Element, die Identität.
Betrachte ich nun die Abbildungen [mm] $f\in [/mm] Sym(X)$ welche einen Fixpunkt haben und zwei Elemente vertauschen, dann gibt es davon drei Stück:
f(1)=1
f(2)=3
f(3)=2
f(1)=3
f(2)=2
f(3)=1
f(1)=2
f(2)=1
f(3)=3
diese drei Abbildungen bilden jeweils mit der Identität eine neue Untergruppe, also drei Stück.
Da immer ein Inverses enthalten ist, man muss nur zwei mal die Funktion mit sich selbst verketten. Die Abgeschlossenheit ist immer(?) gegeben, und das neutral Element ist auch drin.
Sehe ich das so richtig?
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Hallo,
Genau. $1$ ust trivial enthalten. $1$ und $(i, j) $ sind jeweils zu sich selbst invers, also sind Inverse enthalten. Wenn ich mit $1$ verknüpfe, verlasse ich die Teilmenge nicht. Das Einzige, wo Angeschlossenheit also Probleme machen könnte wäre $(i, j)(i, j) $. Da wir jedoch bereits festgestellt haben, dass diese Produkt $1$ ist, sind wir fertig und haben alle UG mit zwei Elementen gefunden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Gut.
Nun hierzu:
"Für jede fixpunktfreie Permutation $ [mm] \sigma [/mm] $ ist $ [mm] \{1,\sigma,\sigma^2\} [/mm] $ eine UG mit 3 Elementen - wieso? Von dieser Bauart gibt es nur ein Stück. Wieso? "
Die Fixpunkt freien Abbildungen wären folgende:
f(1)=2
f(2)=3
f(3)=1
g(1)=3
g(2)=1
g(3)=2
Diese Abbildungen wären zu einander Invers.
Also wäre dies eine weitere Untergruppe.
Insgesamt würde es also die Untergruppen:
[mm] $\{\{1\}, \{Sym(X)\}, \{1, (i,j)\}, \{1,f,g\}\}$
[/mm]
geben, wovon es drei Untergruppen der "Bauart" [mm] $\{1, (i,j)\}$ [/mm] gibt.
Also gibt es 6 Untergruppen.
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo YuSul!
> "Für jede fixpunktfreie Permutation [mm]\sigma[/mm] ist
> [mm]\{1,\sigma,\sigma^2\}[/mm] eine UG mit 3 Elementen - wieso? Von
> dieser Bauart gibt es nur ein Stück. Wieso? "
>
> Die Fixpunkt freien Abbildungen wären folgende:
>
> f(1)=2
> f(2)=3
> f(3)=1
>
> g(1)=3
> g(2)=1
> g(3)=2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Diese Abbildungen wären zu einander Invers.
> Also wäre dies eine weitere Untergruppe.
Mit "dies" meinst du [mm] $\{1,f,g\}$, [/mm] oder?
(Wobei mit $1$ gerade die Identitätsabbildung [mm] $id\colon\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}$ [/mm] gemeint ist.)
Dann stimmt es.
Gegebenenfalls würde ich die Untergruppen-Eigenschaft noch näher begründen.
> Insgesamt würde es also die Untergruppen:
>
> [mm]\{\{1\}, \{Sym(X)\}, \{1, (i,j)\}, \{1,f,g\}\}[/mm]
>
> geben, wovon es drei Untergruppen der "Bauart" [mm]\{1, (i,j)\}[/mm]
> gibt.
Du meinst es korrekt: Die Untergruppen von [mm] $Sym(\{1,2,3\})$ [/mm] lauten gerade:
[mm] $\{1\}$, [/mm] $Sym(X)$, [mm] $\{1,f,g\}$
[/mm]
sowie
[mm] $\{1,(i,j)\}$ [/mm] für alle [mm] $i,j\in\{1,2,3\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$.
[/mm]
> Also gibt es 6 Untergruppen.
> Ist das richtig?
Ja.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, so war es gemeint. Danke für die Korrektur.
Dann werde ich nun über Aufgabenteil II nachdenken.
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Hast du dir auch überlegt, weshalb es keine weiteren Untergruppen geben kann?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Weil das ja schon alle möglichen Untergruppen zu den möglichen Kombinationen sind.
Es gibt ja keine Kombinationen mehr außer die bereits betrachteten.
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Naja, es gibt ja immerhin [mm] $2^6$ [/mm] Teilmengen der Menge der Bijektionen [mm] $X\longrightarrow [/mm] X$. Nun ist wohl schnell klar, weshalb [mm] $\{1,(1,2),(2,3)\}$ [/mm] keine Untergruppe definiert, aber ein kleines Argument, dass wir neben den sechs angegebenen wirklich keine weiteren Untergruppen finden können, wäre m.E. nicht schadhaft.
Dazu müsste man sich eine beliebige Untergruppe [mm] $U\le\operatorname{Sym}X$ [/mm] nehmen und zeigen, dass sie tatsächlich mit einer deiner sechs Untergruppen übereinstimmen muss.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
"Nun ist wohl schnell klar, weshalb $ [mm] \{1,(1,2),(2,3)\} [/mm] $ keine Untergruppe definiert"
Hmm, mir ist das gerade irgendwie nicht so klar.
Diese Untergruppe ist doch bereits in [mm] $\{1, (i,j)\}$ [/mm] enthalten, oder sehe ich das verkehrt.
$ [mm] \{1,(1,2),(2,3)\} [/mm] $
Enthält ja die Identität, die Funkton
f(1)=2
f(2)=1
f(3)=3
und
f(1)=1
f(2)=3
f(3)=2
Und dies erfüllt die Untergruppenkriterien.
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Liegt tatsächlich [mm] $(1,2)\circ(2,3)$ [/mm] wieder in dieser Menge - ist die Verknüpfung also abgeschlossen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Was ist denn mit [mm] (1,2)\circ [/mm] (2,3) gemeint. Ich habe die Notation bisher so verstanden, dass (1,2) jene Abbildung bedeutet, welche 1 mit 2 vertauscht und den Rest fix lässt, also die Abbildung
f(1)=2
f(2)=1
f(3)=3
und (2,3) wäre
f(1)=1
f(2)=3
f(3)=2
Wenn ich dies untereinander verkette, dann habe ich ja keine Möglichkeit, dass es nicht abgeschlossen ist. Ich habe ja nur 1,2 und 3 zur Verfügung.
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Du scheinst immer noch zu denken, Abgeschlossenheit hätte irgendetwas mit Gruppenelementen zu tun. Dem ist nicht so. Eine TEILMENGE $ M $ der Menge aller Gruppenelemente heißt abgeschlossen, wenn aus $ a, [mm] b\in [/mm] M $ stets $ [mm] ab\in [/mm] M $ folgt. Und jetzt beantworte mir bitte noch einmal, ob die TEILMENGE [mm] $\{1, (1,2), (2,3)\} [/mm] $ abgeschlossen ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Scheitert es daran, dass ich nicht alle Element der Menge
[mm] $\{1, (1,2), (2,3)\}$ [/mm] sinnvoll untereinander verketten kann?
Habe ich die Notation denn richtig verstanden?
Ich weiß nicht genau was mit [mm] $(1,2)\circ [/mm] (2,3)$ gemeint ist.
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Ja, daran scheitert es.
Möchtest du wirklich behaupten, wenn $ f $ und $ g $ zwei Abbildungen einer Menge $ X $ in sich selbst sind, dass du nicht weißt, was $ [mm] g\circ [/mm] f $ bedeutet? ;)
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Damit wollte ich sagen, dass ich nicht sicher war was
[mm] $(1,2)\circ [/mm] (2,3)$ bedeutet.
Was [mm] $f\circ [/mm] g$ bedeutet weiß ich.
Ok, dann hätte ich ja zum Beispiel
f(1)=2
f(2)=1
f(3)=3
g(1)=1
g(2)=3
g(3)=2
h(1)=3
h(2)=2
h(3)=1
Aber wenn ich jetzt beispielsweise
f(g(1))=f(1)=2
berechne, wieso soll dies nun nicht abgeschlossen sein?
Oder ist das Beispiel einfach schlecht gewählt. Irgendwas verstehe ich hier immer noch nicht.
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Wenn $ f $ und $ g $ beliebige Abbildungen $ [mm] X\longrightarrow [/mm] $ sind, weißt du, was gemeint ist, sobald wir aber speziell $ g=(1,2) $ und $ f=(2,3) $ setzen nicht mehr? Ohne dir zu nahe treten zu wollen, aber dann nimmst du dir nicht genug Zeit, hierüber nachzudenken. Ich schlage vor, dass du dir jetzt in Ruhe überlegst, was die Abbildung $(1,2) [mm] :X\longrightarrow [/mm] X $ ist, was die Abbildung [mm] $(2,3):X\longrightarrow [/mm] X $ ist, dann, was die Abbildung [mm] $(1,2)\circ(2,3):X\longrightarrow [/mm] X $ ist, und dann ob sie mit einer der drei Abbildungen $(1,2),(2,3), id $ übereinstimmt.
Und danach reden wir über die Lösung der Aufgabe weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $(1,2):X\to [/mm] X$
f(1)=2
f(2)=1
f(3)=3
$(2,3): [mm] X\to [/mm] X$
g(1)=1
g(2)=3
g(3)=2
[mm] $(1,2)\circ [/mm] (2,3): [mm] X\to [/mm] X$
g(f(1))=3
g(f(2))=1
g(f(3))=2
Und eine Funktion
[mm] $h=g\circ [/mm] f$ mit
h(1)=3
h(2)=1
h(3)=2
ist nicht in der Menge enthalten, da wir nur die Funktionen betrachten, die einen Fixpunkt haben und zwei Elemente vertauschen, hier ist aber alles vertauscht. Ist es so gemeint?
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Ja, genau so. Habe bei den nachfolgenden Betrachtungen im Kopf, dass Elemente unserer Gruppe Abbildungen sind, dass die Multiplikation der Gruppe die Komposition von Abbildungen ist, und dass sich die Untergruppenkriterien auf Teilmengen der Grundmenge beziehen.
Es sei $ U $ eine Untergruppe. Zu zeigen ist, dass $ [mm] U\in\{\{1\},\{1, (1,2)\},\{1, (2,3)\},\{1, (1,3)\},\{1, (1,2,3), (1,3,2)\}, Sym (X)\} [/mm] $. Ich kürze die Menge mal mit $ A $ ab, damit ich nicht so viel zu tippen habe ;) $(1,2,3) $ bezeichnet hierbei die Abbildung $ f $ mit $f (1) =2$, $ f (2)=3$ und $ f (3)=1$.
Zwei Fälle sind zu unterscheiden: $ U $ enthält nur das Einselement oder noch ein weiteres. Im ersten Fall gilt [mm] $U\in [/mm] A $, beschränken wir uns also auf den zweiten. Es gibt drei Fälle:
U enthält neben der 1 nur Abbildungen der Form $(i, j) $,
nur Abbildungen der Form $(i, j, k) $
Beides.
In erstem Fall enthält U nur eine Abbildung der Form (i, j). Enthielte sie nämlich auch noch (j, k), so müsste sie wegen Abgeschlossenheit auch (i, j)(j, k)=(i, j, k) enthalten (warum gilt diese Gleichheit? ), das heißt wir wären im dritten Fall. Es ist also [mm] $U=\{1,(i, j)\}\in [/mm] A $.
Im zweiten Fall muss U neben der (i, j, k) auch (i, j, k)(i, j, k)=(i, k, j) enthalten. Enthielte U auch noch ein Element der Form (i, j), so wären wir im dritten Fall. Es gilt also $ [mm] U=\{1, (1,2,3), (1,3,2)\}\in [/mm] A $.
Im dritten Fall enthält A (genauso wie man es im zweiten zeigt) beide Elemente (1,2,3) und (1,3,2) und noch ein (i, j). Eines der beiden obigen Elemente ist dann sicherlich (i, j, k) wobei [mm] $k\not=i, [/mm] j $. Wieso?
Dann sind (i, j, k)(i, j) und (i, j, k)(i, j, k)(i, j) die beiden übrigen Elemente der Gruppe (wieso?), das heißt, $ U=Sym [mm] (X)\in [/mm] A $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 19.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, darüber muss ich wohl noch nachdenken.
Zu der Aufgabe II)
Hier muss ich zeigen, dass die kleinste Untergruppe welche
[mm] $\{(1,2),(2,3),(3,1)\}$ [/mm] enthält bereits die Gruppe selbst ist, nämlich Sym(X)
Kann ich das nicht einfach so tun, dass ich die jeweiligen Abbildungen hinschreibe und dann untereinander verkette, so die Menge immer weiter vergrößer und am Ende bei Sym(X) ankomme?
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Ja - du kannst aber auch Teil a) verwenden, der ja bereits zeigt, dass es nur eine Untergruppe gibt, welche diese drei Elemente enthält.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 20.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, stimmt.
Ich weiß ja bereits wie alle Untergruppen aussehen, und das Erzeugnis dieser Untergruppe soll ja die kleinste sein, welche sie enthält.
Dann muss es ja bereits sym(X) selbst sein, weil alle anderen Untergruppen sie nicht enthält. (Außer in trivialerweise)
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> Ah, stimmt.
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> Ich weiß ja bereits wie alle Untergruppen aussehen, und
> das Erzeugnis dieser Untergruppe
Richtig: Menge
> soll ja die kleinste sein,
> welche sie enthält.
>
> Dann muss es ja bereits sym(X) selbst sein, weil alle
> anderen Untergruppen sie nicht enthält.
Genau.
> (Außer in
> trivialerweise)
Was meinst du hiermit?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Mo 20.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Vergiss das, was ich damit meinte war ein wenig willkürlich...
Vielen Dank für deine Hilfe.
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