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| Aufgabe | Ich möchte zeigen, dass die symmetrische Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung abgeschlossen ist.
[mm] S_n \{f : N->N | f ist bijektiv\} [/mm] |
[mm] \alpha, \beta \in S_n
[/mm]
-> ZZ: [mm] \beta \circ \alpha \in S_n
[/mm]
Die Injektivität von [mm] \beta \circ \alpha [/mm] ist mir klar, jedoch nicht wie ich die Surjektivität zeigen kann!!
Ich hab aber irgendwo nachgelesen, dass hier der beweis der Injektivität schon reicht, da die menge endlich ist? Das verstehe ich aber nicht ganz-.
ZuZeigen:
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] N [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] N sodass [mm] a=\beta \circ \alpha [/mm] (b)
[mm] \beta \circ \alpha [/mm] (b) = [mm] \beta(\alpha(b))=\beta(k)=a
[/mm]
da [mm] \beta [/mm] und [mm] \alpha [/mm] surjektiv .
LG
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Hiho,
> Ich hab aber irgendwo nachgelesen, dass hier der beweis
> der Injektivität schon reicht, da die menge endlich ist?
> Das verstehe ich aber nicht ganz-.
genau so beweist man das aber 
Mach dir doch mal folgendes klar:
Sei M eine endliche Menge und $f: [mm] M\to [/mm] M$ eine Funktion, dann gilt:
f injektiv [mm] \gdw [/mm] f surjektiv
Ist auch anschaulich irgendwie klar.... wird jedes Element aus M getroffen, brauchen wir mindestens soviele Urbilder, wie Elemente in M vorhanden sind.
Ist die Funktion injektiv, treffen wir auch gerade genau soviele Elemente, wie in M vorhanden sind, d.h. ganz M.
MFG,
Gono.
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Ah okay ich hätte noch eine Frage dazu:
Ich möchte zeigen [mm] |S_n| [/mm] = n!
Ich dachte an Induktion.
Der Induktionsanfang ist klar.
Aber beim induktionsschritt steckts bei mir:
ZuZeigen [mm] |S_{n+1}| [/mm] = (n+1)!
[mm] (n+1)!=n!(n+1)=|S_n| [/mm] *(n+1)
Liebe grüße
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Ich würde dir raten deine Aussage etwas allgemeiner zu fassen, sodass du [mm] $|S_n|=n!$ [/mm] als netten Spezialfall bekommst.
Beweise:
Sind $M,N$ endliche Mengen mit $|M|=|N|=n [mm] \in \IN$ [/mm] so gibt es genau $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $N$.
Bist du jetzt im Induktionsschluss so hat die Menge $M$ genau $n+1$ Elemente, wir können diese [mm] $m_1,\ldots [/mm] , [mm] m_{n+1}$ [/mm] nennen.
Bilden wir [mm] $m_1$ [/mm] auf ein Element aus $n$ ab so haben wir dafür $n+1$ Möglichkeiten (denn so viele Elemente gibt es nunmal in $N$).
Den Rest darfst du mal weiter überlegen.
Bedenke hierbei, dass aufgrund der Verallgemeinerung du eine andere Induktionsvoraussetzung erhältst; in dieser sollte irgendwo "für alle Mengen $M,N$ mit $|M|=|N|=n [mm] \in \IN$ [/mm] drin stecken.
lg
Schadow
PS: Hier siehst du mal ein Beispiel für eine Induktion, bei der es tatsächlich sinnvoll ist sich die Induktionsvoraussetzung hinzuschreiben oder sich zu überlegen, was man mit der tolles machen könnte.
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