Symmetrische holomorphe Fktn < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mi 04.09.2013 | | Autor: | nobodon |
| Aufgabe | | Sei G aus C (komplexe Zahlenebene) ein Gebiet, das symmetrisch zur reellen Achse liegt und f eine holomoprhe Fktn in G. Und außerdem sei f(G schnitt R) aus R (reelle Achse). Zeigen Sie, das die Nullstellen symmetrisch zur reellen Achse liegen. |
Bitte überprüft und erweitert mal kurz, als Hinweis hab ich gegebn dass man $ [mm] \bar f(\bar [/mm] z)$
Mein Beweis:
f(z) ist holomoprh in G, aus Symmetriegründen ist f(w) in G holomorph, wobei ich mit w das komplexe konjungierte von z meine.
Falls G schnitt R nicht leer, wähle eine Menge A aus G schnitt R. Wähle in A eine konvergente Folge gegen a ( aus A, Folge beinhaltet nicht a). Identitätssatz impliziert Gleichheit von f(z) = f(w).
(Falls G schnitt R leer, was dann ? )
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[mm]z \mapsto f(\bar{z})[/mm] ist im allgemeinen sicher nicht holomorph.
Kombiniere Schwarzsches Spiegelungsprinzip und Identitätssatz.
[mm]G \cap \mathbb{R}[/mm] kann nicht leer sein, da G ein Gebiet ist und symmetrisch zur reellen Achse liegt.
(Der Tip, er bricht bei dir plötzlich ab, weist auf das Schwarzsche Spiegelungsprinzip hin. Falls dieses dir noch nicht bekannt ist, soll es wohl hier gezeigt werden.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Do 05.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei G aus C (komplexe Zahlenebene) ein Gebiet, das
> symmetrisch zur reellen Achse liegt und f eine holomoprhe
> Fktn in G. Und außerdem sei f(G schnitt R) aus R (reelle
> Achse). Zeigen Sie, das die Nullstellen symmetrisch zur
> reellen Achse liegen.
> Bitte überprüft und erweitert mal kurz, als Hinweis hab
> ich gegebn dass man [mm]\bar f(\bar z)[/mm]
>
> Mein Beweis:
>
> f(z) ist holomoprh in G, aus Symmetriegründen ist f(w) in
> G holomorph, wobei ich mit w das komplexe konjungierte von
> z meine.
Du meinst wohl das Folgende:
für z [mm] \in [/mm] G, sei [mm] g(z):=\overline{f(\overline{z})}
[/mm]
Nun zeige sauber, dass g auf G holomorph ist.
> Falls G schnitt R nicht leer, wähle eine Menge A aus G
> schnitt R. Wähle in A eine konvergente Folge gegen a ( aus
> A, Folge beinhaltet nicht a).
Hä ? Wie wählst Du A ? Was hat das mit den Nullstellen von f zu tun ?
> Identitätssatz impliziert
> Gleichheit von f(z) = f(w).
Kann es sein, dass Du zeigen willst f(z)=g(z) für alle z [mm] \in [/mm] G , wobei g wie oben von mir def. ist ?
Wenn ja, so ist das eine gute Idee. Die Umsetzung hast Du allerdings vemasselt.
Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip braucht man nicht.
Wir zeigen also: f(z)=g(z) für alle z [mm] \in [/mm] G.
> (Falls G schnitt R leer, was dann ? )
G [mm] \cap \IR [/mm] ist nicht leer !! Es ist G [mm] \cap \IR [/mm] Vereinigung offener Intervalle in [mm] \IR [/mm] (dazu später mehr).
Für z [mm] \in [/mm] G [mm] \cap \IR [/mm] ist [mm] z=\overline{z} [/mm] und f(z) [mm] \in \IR, [/mm] also auch [mm] f(z)=\overline{f(z)}. [/mm] Damit ist
[mm] g(z)=\overline{f(\overline{z})}=\overline{f(z)}=f(z).
[/mm]
Aus dem Identitätssatz folgt nun:
g(z)=f(z) für alle z [mm] \in [/mm] G.
Ist nun [mm] z_0 \in [/mm] G und [mm] f(z_0)=0, [/mm] so ist, nach dem eben Gezeigten:
[mm] g(z_0)=0, [/mm] also [mm] \overline{f(\overline{z_0})}=0.
[/mm]
Es folgt: [mm] f(\overline{z_0})=0.
[/mm]
Zu G [mm] \cap \IR: [/mm]
Da G offen ist, ex. ein [mm] z_0 \in [/mm] G mit [mm] z_0 \notin \IR. [/mm] Wir können [mm] Im(z_0)>0 [/mm] annehmen. Sei [mm] z_1:= \overline{z_0}. [/mm] Dann ist [mm] z_1 \in [/mm] G und [mm] Im(z_1)<0.
[/mm]
G ist ein Gebiet, also wegzusammenhängend. Daher ex. eine stetige Abbildung $w:[0,1] [mm] \to [/mm] G$ mit
[mm] w(0)=z_0 [/mm] und [mm] w(1)=z_1.
[/mm]
Sei h:=Im(w). Dann ist h(0)>0 und h(1)<0. Es ex. also ein [mm] t_0 \in [/mm] (0,1) mit [mm] h(t_0)=0 [/mm] (warum ?).
Setze nun [mm] z_2:=w(t_0).
[/mm]
Dann ist [mm] z_2 \in [/mm] G [mm] \cap \IR.
[/mm]
So, nun zeigst Du, dass G [mm] \cap \IR [/mm] Vereinigung offener Intervalle in [mm] \IR [/mm] ist, denn für die Anwendung des Identitätsatzes reicht G [mm] \cap \IR \ne \emptyset [/mm] alleine nicht !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Fr 06.09.2013 | | Autor: | nobodon |
ich werde mich demnächst dransetzen. d.h. in ner stunde danke für die hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 06.09.2013 | | Autor: | nobodon |
Okay, ich habs verstanden.
Hab vergessen dass man [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR^{2}$ [/mm] auffassen kann und somit zusammenhängende Mengen auch wegzusammenhängend sind. Dann ist klar dass G schnitt R nicht leer sein kann, und dass G schnitt R Vereinigung offener Intervalle in R ist, ist mir auch klar (zumindest Anschaulich).
Ich bin der Meinung dass man beim Beweis nur zeigen musst dass
$ f(z) = g(z) $ ist mit $g(z) := [mm] f(\bar [/mm] z)$, geht mit der gleichen argumentation durch, die du gebracht hast ?
Zum Identitätssatz:
[mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz_f%C3%BCr_holomorphe_Funktionen [/mm] (wikipedia eintrag "Identitätssatz für holomorphe funktionen)
ich wollte den 2. Punkt benutzen, also den mit dem Häufungspunkt. Ich nehme mir ein offenses Intervall aus G schnitt R und sehe dass g(z) = f(z).( Man kann sich ja in diesem Intervall beliege folgen wählen.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Sa 07.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay, ich habs verstanden.
> Hab vergessen dass man [mm]\IC[/mm] als [mm]\IR^{2}[/mm] auffassen kann und
> somit zusammenhängende Mengen auch wegzusammenhängend
> sind. Dann ist klar dass G schnitt R nicht leer sein kann,
> und dass G schnitt R Vereinigung offener Intervalle in R
> ist, ist mir auch klar (zumindest Anschaulich).
>
> Ich bin der Meinung dass man beim Beweis nur zeigen musst
> dass
> [mm]f(z) = g(z)[/mm] ist mit [mm]g(z) := f(\bar z)[/mm], geht mit der
> gleichen argumentation durch, die du gebracht hast ?
Nein. Leopold hat es Dir doch oben schon gesagt: Dein g ist i.a. nicht holomorph !
Beispiel: f(z)=z ist holomorph, nicht aber [mm] g(z)=\overline{z}
[/mm]
FRED
>
> Zum Identitätssatz:
>
> [mm]http://de.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A4tssatz_f%C3%BCr_holomorphe_Funktionen[/mm]
> (wikipedia eintrag "Identitätssatz für holomorphe
> funktionen)
> ich wollte den 2. Punkt benutzen, also den mit dem
> Häufungspunkt. Ich nehme mir ein offenses Intervall aus G
> schnitt R und sehe dass g(z) = f(z).( Man kann sich ja in
> diesem Intervall beliege folgen wählen.)
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