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| Aufgabe | | Wir betrachten zwei radioaktive Nuklide A und B, wobei B das Zerfallsprodukt von A sei. Nach dem Zerfallsgesetz ist die Zerfallsrate (die zeitliche Änderung der Stoffmenge eines Nuklids) proportional zur vorhandenen Stoffmenge. Hier kommt noch dazu, dass B neu gebildet wird mit einer Rate, die gleich der Zerfallsrate von A ist. Stellen Sie ein System von Dgln für die Stoffmengen yA und yB auf. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieses Systems bei vorgegebenen Anfangsmengen von yA und yB zum Zeitpunkt Null. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe heran gehen soll, da ich noch nie ein System von Dgln aufgestellt habe.
Aus der Physik weiß ich das nach dem Zerfallsgesetz gilt:
dyA/dt=-x*yA , wobei x die Zerfallskonstante ist.
Jetzt muss ich doch eine zweite Dgl aufstellen für yB, oder? Das dürfte eigentlich nicht so schwer sein, weil die Wachstumsraten von Stoff B gleich der Zerfallsrate von Stoff A ist.
Das hieße:
dyB/dt=x*yB , was mir aber unlogisch erscheint.
Außerdem muss ich die beiden Dgln noch in Verbindung setzten und dann kommen die Probleme mit dem System aufstellen.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
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> Wir betrachten zwei radioaktive Nuklide A und B, wobei B
> das Zerfallsprodukt von A sei. Nach dem Zerfallsgesetz ist
> die Zerfallsrate (die zeitliche Änderung der Stoffmenge
> eines Nuklids) proportional zur vorhandenen Stoffmenge.
> Hier kommt noch dazu, dass B neu gebildet wird mit einer
> Rate, die gleich der Zerfallsrate von A ist. Stellen Sie
> ein System von Dgln für die Stoffmengen yA und yB auf.
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieses Systems bei
> vorgegebenen Anfangsmengen von yA und yB zum Zeitpunkt
> Null.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe heran gehen
> soll, da ich noch nie ein System von Dgln aufgestellt
> habe.
> Aus der Physik weiß ich das nach dem Zerfallsgesetz
> gilt:
> dyA/dt=-x*yA , wobei x die Zerfallskonstante ist.
soweit in ordnung
> Jetzt muss ich doch eine zweite Dgl aufstellen für yB,
> oder? Das dürfte eigentlich nicht so schwer sein, weil die
> Wachstumsraten von Stoff B gleich der Zerfallsrate von
> Stoff A ist.
> Das hieße:
> dyB/dt=x*yB , was mir aber unlogisch erscheint.
passt auch nicht. Die Bedingung, dass A in B zerfällt, liefert den Term +x*yA auf der rechten Seite. Da B selbst aber auch zerfällt, bekommst du
dyB/dt=-k*yB+x*yA,
wobei k die Zerfallsrate für B ist.
> Außerdem muss ich die beiden Dgln noch in Verbindung
> setzten und dann kommen die Probleme mit dem System
> aufstellen.
> Ich hoffe mir kann jemand helfen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 29.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | | Die Intensität der ausgesandten Gammastrahlung eines Nuklids ist Proportional zur Stoffmenge, wobei der Proportionalitätsfaktor bei [mm] Am^{241} [/mm] etwa 30000mal so hoch ist wie bei [mm] Pu^{241}. [/mm] Zur Zeit t=0 sei kein [mm] Am^{241} [/mm] vorhanden. Nach welcher Zeit erreicht die Gesamtstrahlungsintensität von [mm] Pu^{241} [/mm] und [mm] Am^{241} [/mm] ihr Maximum. |
Hallo Forum,
zu der oben genannten Frage gab es noch eine weitere Teilaufgabe c zu der ich auch eine Frage habe:
Bisher ist ja wie gewohnt
[mm] \bruch{dI_{Am^{241}}}{dt}=i*30000*I(t), [/mm]
[mm] \bruch{dI_{Pu^{241}}}{dt}=i*I(t)
[/mm]
i :=Proportionalitätsfaktor und I(t) ist die Intensität zur Zeit t
irgendwie hab ich ja jetzt 2 Dgl, aber die erste kann ich ja gar nicht auflösen wegen meinem AW t=0 aber da gibts ja noch kein [mm] Am^{241}?
[/mm]
Bin ich hier überhaupt auf dem richtigen Weg oder wie gehts weiter?
Wie krieg ich das jetzt zu "einem"? Ich muss ja hinterher auf "ein" Maximum kommen...
Wäre über eure Hilfe sehr dankbar!
LuisA44
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> Die Intensität der ausgesandten Gammastrahlung eines
> Nuklids ist Proportional zur Stoffmenge, wobei der
> Proportionalitätsfaktor bei [mm]Am^{241}[/mm] etwa 30000mal so hoch
> ist wie bei [mm]Pu^{241}.[/mm] Zur Zeit t=0 sei kein [mm]Am^{241}[/mm]
> vorhanden. Nach welcher Zeit erreicht die
> Gesamtstrahlungsintensität von [mm]Pu^{241}[/mm] und [mm]Am^{241}[/mm] ihr
> Maximum.
> Hallo Forum,
>
> zu der oben genannten Frage gab es noch eine weitere
> Teilaufgabe c zu der ich auch eine Frage habe:
>
> Bisher ist ja wie gewohnt
>
> [mm]\bruch{dI_{Am^{241}}}{dt}=i*30000*I(t),[/mm]
>
> [mm]\bruch{dI_{Pu^{241}}}{dt}=i*I(t)[/mm]
>
> i :=Proportionalitätsfaktor und I(t) ist die Intensität
> zur Zeit t
>
> irgendwie hab ich ja jetzt 2 Dgl, aber die erste kann ich
> ja gar nicht auflösen wegen meinem AW t=0 aber da gibts ja
> noch kein [mm]Am^{241}?[/mm]
>
> Bin ich hier überhaupt auf dem richtigen Weg oder wie
> gehts weiter?
> Wie krieg ich das jetzt zu "einem"? Ich muss ja hinterher
> auf "ein" Maximum kommen...
>
>
> Wäre über eure Hilfe sehr dankbar!
>
> LuisA44
[mm] Pu^{241} [/mm] zerfällt in [mm] Am^{241}. [/mm] Damit erhältst du hier zwei gekoppelte Differenzialgleichungen wie im Aufgabenteil weiter oben und der Anteil von [mm] Am^{241} [/mm] bleibt nicht bei 0.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 30.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo,
meinst du dann das das gekoppelte System dann so aussehen muss:
[mm] I_{Am}'=i*30000*I_{Am}(t)+i*I_{Pu}(t)
[/mm]
[mm] I_{Pu}'=i*I_{Pu}(t)
[/mm]
Irgendwie kommt mir das komisch vor ... Wie kann ich denn bei einemSystem ein Maximum berechnen? Da muss ich ja bei gleich null setzen,aber dann berechne ich ja stationäre Punkte ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Über weitere Hilfe wäre ich sehr dankbar:)
Grüße
LuisA44
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mi 30.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas läuft hier durcheinander. von was suchst du das Max?
doch wahrscheinlich für die Intensität oder Stoffmenge von Am?
warum löst du nicht erstmal das System.
Schön wäre die genaue Aufgabenstellung statt Schnipsel davon.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 30.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Zu den stärksten Quellen von Gammastrahlen in abgebrannten Brennstäben aus Kernkraftwerken gehört unter anderem Plutonium-241 [mm] Pu^{241}, [/mm] welches mit einer Halbwertszeit von 14 Jahren in Americum-241 zerfällt. Americum-241 [mm] (Am^{241}) [/mm] zerfällt seinerseits mit einer Halbwertszeit von 432 Jahren in Neptunium-237.
a.)Wir betrachten zwei radioaktive Nuklide A und B, wobei B das Zerfallsprodukt von A sei. Nach dem Zerfallsgesetz ist die Zerfallsrate (die zeitliche Änderung der Stoffmenge eines Nuklids) proportional zur vorhandenen Stoffmenge. Hier kommt noch dazu, dass B neu gebildet wird mit einer Rate, die gleich der Zerfallsrate von A ist. Stellen Sie ein System von Dgln für die Stoffmengen [mm] y_A [/mm] und [mm] y_B [/mm] auf. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieses Systems bei vorgegebenen Anfangsmengen von [mm] y_A [/mm] und [mm] y_B [/mm] zum Zeitpunkt Null.
b.) Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der die Hälfte der ursprünglichen Stoffmenge vorhanden ist, wobei das einfache Zerfallsgesetz zugrunde gelegt wird(ohne Neubildung). Wie hängt die Halbwertszeit mit dem Proportionalitätsfaktor zusammen?Welche Daten ergeben sich bei [mm] Pu^{241} [/mm] und [mm] Am^{241}?
[/mm]
c.)Die Intensität der ausgesandten Gammastrahlung eines Nuklids ist Proportional zur Stoffmenge, wobei der Proportionalitätsfaktor bei [mm] Am^{241} [/mm] etwa 30000mal so hoch ist wie bei [mm] Pu^{241} [/mm] Zur Zeit t=0 sei kein vorhanden. Nach welcher Zeit erreicht die Gesamtstrahlungsintensität von und ihr Maximum. |
Hallo Leduart,
also die komplette Aufgabe siehst du nun oben.
bei a.) war ja
[mm] y_A'=-xy_a
[/mm]
[mm] y_B'=-ky_B+xy_A
[/mm]
ALs allgemeine LÖsung bekomme ich:
[mm] y_A=N_0*e^{-x*t}
[/mm]
[mm] y_B=\bruch{1}{k-x}x*N_0(e^{-tx}-e^{-kt})
[/mm]
bei b.)vernachlässige ich ja die Neubildung und löse die Dgl und irgendwann komme ich auf die Beziehung
[mm] T_{1/2}=\bruch{ln(2)}{x} [/mm] bzw [mm] T_{1/2}=\bruch{ln(2)}{k}
[/mm]
bei c.) hänge ich jetzt irgendwie:
hier ist ja nach dem Zeitpunkt gefragt, an dem die Gesamtintensität maximal ist. Die Intensität ist proportional zur Stoffmenge.
Hier bin ich verwirrt:
Es müsste doch eigentlich
[mm] N_{Pu}'(t)=i*N_{Pu}(t)
[/mm]
[mm] N_{Am}'(t)=i*30000*N_{Am}(t)+i*N_{Pu}(t)
[/mm]
Naja aber irgendwie ist das komisch, weil ich ja ne Lösung rauskriegen muss, die die Intensität angibt also sowas: I(t)?
oder wäre das
[mm] I_{Pu}'(t)=i*I_{Pu}(t)
[/mm]
[mm] I_{Am}'(t)=i*30000*I_{Am}(t)+i*I_{Pu}(t)?
[/mm]
Wäre froh, wenn du Licht ins dunkle bringst ;)
GRüße
LuisA44
(Irgendwie ist das zweite quatsch)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 30.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sa steht doch die Intensität ist proportional zu Stoffmenge, also bei Pu [mm] I_P=k*N_P; [/mm] bei Am ist dann nach dem Text [mm] I_A=30000*kN_A
[/mm]
auf das k kommts nicht an, da es nicht um die absolute Intensität geht, sondern nur wann das max erreicht ist. [mm] I(t)=I_P(t)*I_A(t)
[/mm]
kannst du ausrechnen und das Max bestimmen.
Deine lösg. hab ich nicht überprüft, ich hoffe du hast sie in die Dgl. eingesetzt um das zu tun.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 30.11.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hallo Leduart,
> Sa steht doch die Intensität ist proportional zu
> Stoffmenge, also bei Pu [mm]I_P=k*N_P;[/mm] bei Am ist dann nach dem
> Text [mm]I_A=30000*kN_A[/mm]
klaro:)
> [mm]I(t)=I_P(t)*I_A(t)[/mm]
> kannst du ausrechnen und das Max bestimmen.
Also entsprechen dann quasi die Lösungen (die ich nochmal nachgeprüft habe):
[mm] y_A [/mm] entspricht dann [mm] N_{Pu}
[/mm]
und [mm] y_B [/mm] entspricht dann [mm] N_{Am}
[/mm]
das setze ich also ein und berechne
> [mm]I(t)=I_P(t)*I_A(t)[/mm]
und hier kann ich dann ganz normal die Ableitung gleich null setzen stimmts?
> Deine lösg. hab ich nicht überprüft, ich hoffe du hast
> sie in die Dgl. eingesetzt um das zu tun.
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mi 30.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Gl
$ [mm] N_{Pu}'(t)=i\cdot{}N_{Pu}(t) [/mm] $
$ [mm] N_{Am}'(t)=i\cdot{}30000\cdot{}N_{Am}(t)+i\cdot{}N_{Pu}(t) [/mm] $
sind so falsc richtig:
$ [mm] N_{Pu}'(t)=i\cdot{}N_{Pu}(t) [/mm] $
$ [mm] N_{Am}'(t)=k\cdot{}N_{Am}(t)+i\cdot{}N_{Pu}(t) [/mm] $
i und k aus der HWZ berechnen
das entspricht wohl deinen [mm] y_a [/mm] und [mm] y_b
[/mm]
in meinem vorigen post ist ein * (Mal) statt + geraten. natürlich addieren sich die Intensitäten. [mm] I(t)=I_A+I_P
[/mm]
und dann mit dem richktigen i und k bzw k und x
addieren und das max bestimmen.
Gruss leduart
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