Systeme von m PDGLen 1.Ordnung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Di 22.04.2008 | | Autor: | Chlors |
| Aufgabe | | Klassifizieren Sie die zweidimensionale Laplace-, Wellen - und Wärmeleitungsgleichung mithilfe von Def.1.3 der Vorlesung. Überführen Sie die drei Gleichungen dazu jeweils in ein System von zwei PDGen 1.Ordnung. |
Hallo,
weiß jemand wie ich eine PDGL 2.Ordnung in ein System von zwei PDGLen 1.Ordnung überführe?
Wir haben dazu eine Formel in der Vorlesung gegeben, allerdings versteht die leider niemand aus meiner Lerngruppe.
Formel lautet:
[mm] \summe_{i=1}^{N} A_{i}*\vektor{du_{1}/dx_{i} ... \\... du_{m}/dx_{i}} [/mm] = [mm] \vektor{F_{1}...\\ ... F_{m}} [/mm]
hoffe man kann die Formel vernünftig lesen. N wäre bei uns 2 und m auch. F ist die rechte Seite, also bei uns komplett Null.
Und [mm] A_{i} [/mm] sind bei uns 2x2 Matrizen, wir verstehen allerdings nicht wie man auf diese Matrizen kommt und die brauchen wir für die Klassifizierung.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Liebe Grüße, Conny.
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Hallo Chlors,
> Klassifizieren Sie die zweidimensionale Laplace-, Wellen -
> und Wärmeleitungsgleichung mithilfe von Def.1.3 der
> Vorlesung. Überführen Sie die drei Gleichungen dazu jeweils
> in ein System von zwei PDGen 1.Ordnung.
> Hallo,
> weiß jemand wie ich eine PDGL 2.Ordnung in ein System von
> zwei PDGLen 1.Ordnung überführe?
> Wir haben dazu eine Formel in der Vorlesung gegeben,
> allerdings versteht die leider niemand aus meiner
> Lerngruppe.
> Formel lautet:
> [mm]\summe_{i=1}^{N} A_{i}*\vektor{du_{1}/dx_{i} ... \\... du_{m}/dx_{i}}[/mm]
> = [mm]\vektor{F_{1}...\\ ... F_{m}}[/mm]
> hoffe man kann die Formel vernünftig lesen. N wäre bei uns
> 2 und m auch. F ist die rechte Seite, also bei uns komplett
> Null.
> Und [mm]A_{i}[/mm] sind bei uns 2x2 Matrizen, wir verstehen
> allerdings nicht wie man auf diese Matrizen kommt und die
> brauchen wir für die Klassifizierung.
Ich denke, es handelt sich um diese partielle DGL 2. Ordnung:
[mm]a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}=0[/mm]
Substituiere [mm]u_{1}=u_{x}, \ u_{2}=u_{y}[/mm]
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
> Liebe Grüße, Conny.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 22.04.2008 | | Autor: | Chlors |
hi,
erstmal danke für deine antwort.
die substitution hatten wir uns auch schon überlegt, allerdings wissen wir eben nicht wie die matrizen [mm] A_{i} [/mm] aussehen sollen. ist nicht nur eine, sondern mehrere 2x2 matrizen, jedenfalls so wie die summe konstruiert ist, oder irgendwas in unserer vorlesung ist falsch.
lg, conny
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Hallo Chlors,
> hi,
> erstmal danke für deine antwort.
> die substitution hatten wir uns auch schon überlegt,
> allerdings wissen wir eben nicht wie die matrizen [mm]A_{i}[/mm]
> aussehen sollen. ist nicht nur eine, sondern mehrere 2x2
> matrizen, jedenfalls so wie die summe konstruiert ist, oder
> irgendwas in unserer vorlesung ist falsch.
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) Satz von Schwarz ist ja [mm]u_{xy}=u_{yx}[/mm],
was bei der Substitution [mm]u_{1}=u_{x}, \ u_{2}=u_{y}[/mm] der Gleichung [mm]{u_{1}}_{y}={u_{2}}_{x}[/mm] entspricht.
Diese Gleichung muß auch Berücksichtigung in den Matrizen finden:
[mm]\pmat{\dots & \dots \\ 0 & 1}\pmat{{u_{1}}_{x} \\ {u_{2}}_{x}}+\pmat{\dots & \dots \\ -1 & 0}\pmat{{u_{1}}_{y} \\ {u_{2}}_{y}}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
> lg, conny
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Chlors |
Vielen Dank für deine Hilfe. Damit konnte ich die Aufgabe lösen :)
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