Tangente < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=x^3. [/mm] Ihr Graph sei K.
Zeigen Sie: Die Normale von K in [mm] B(a|a^3) [/mm] mit [mm] a\not=0 [/mm] hat mit K keinen weiteren gemeinsamen Punkt. |
Der Anfang ist noch ganz simpel: Tangente mithilfe von Ableitung und Punkt B ermitteln: [mm] t(x)=3a^2x-2a^3.
[/mm]
m von Normale ist ja negatives Reziproke von von m der tangente also [mm] -1/3a^2.
[/mm]
gleichung von n(x) lässt sich also mit y=m(x-x0)+y0 ermitteln,
also: [mm] y=-1/3a^2(x-a)+a^3. [/mm] -> y= [mm] ^1/3a^2+1/3a+a^3
[/mm]
Um die Schnittpunkte von N und K nachzuweisen gleichsetzen:
[mm] 0=x^3+1/3a^2-1/3a-a^3. [/mm] Logisch Polynomdivision mit (x-a)
Da kommt jedoch [mm] x^2+ax+a^2+((1/3a^2-1/3a)/x-a) [/mm] raus.
Wie soll ich weiter vorgehen?
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> also: [mm]y=-1/3a^2(x-a)+a^3.[/mm] -> y= [mm]^1/3a^2+1/3a+a^3[/mm]
Die gleichung lautet natürlich [mm] y=-1/3a^2x+1/3a+a^3
[/mm]
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> Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)=x^3.[/mm] Ihr Graph sei K.
> Zeigen Sie: Die Normale von K in [mm]B(a|a^3)[/mm] mit [mm]a\not=0[/mm] hat
> mit K keinen weiteren gemeinsamen Punkt.
> Der Anfang ist noch ganz simpel: Tangente mithilfe von
> Ableitung und Punkt B ermitteln: [mm]t(x)=3a^2x-2a^3.[/mm]
Du musst nicht die ganze Tangentengleichung ermitteln, um die Normalensteigung zu berechnen.
> m von Normale ist ja negatives Reziproke von von m der
> tangente also [mm]-1/3a^2.[/mm]
> gleichung von n(x) lässt sich also mit y=m(x-x0)+y0
> ermitteln,
> also: [mm]y=-1/3a^2(x-a)+a^3.[/mm] -> y= [mm]^1/3a^2+1/3a+a^3[/mm]
Hier fehlt jetzt irgendwie das x in der Normalengleichung, die m- und n-Werte sind aber richtig.
> Um die Schnittpunkte von N und K nachzuweisen
> gleichsetzen:
> [mm]0=x^3+1/3a^2-1/3a-a^3.[/mm] Logisch Polynomdivision mit (x-a)
> Da kommt jedoch [mm]x^2+ax+a^2+((1/3a^2-1/3a)/x-a)[/mm] raus.
> Wie soll ich weiter vorgehen?
Wenn ich K und N gleichsetze, erhalte ich
[mm]x^{3} = -\bruch{1}{3a^{2}}*x+\bruch{1}{3a}+a^{3}[/mm]
[mm]\gdw x^{3} +\bruch{1}{3a^{2}}*x-\bruch{1}{3a}-a^{3} = 0[/mm]
Wenn ich nun die Polynomdivision durchführe, erhalte ich auf der linken Seite
[mm]\gdw (x-a)*\left(x^{2}+a*x+a^{2}+\bruch{1}{3a^{2}}\right) = 0[/mm]
Dann kann man mit den Lösungen der quadratischen Gleichung nachweisen, dass es keine weiteren Schnittpunkte als eben nur B gibt.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 23:05 So 18.05.2008 | | Autor: | Vreni |
> > Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)=x^3.[/mm] Ihr Graph sei K.
> > Zeigen Sie: Die Normale von K in [mm]B(a|a^3)[/mm] mit [mm]a\not=0[/mm]
> hat
> > mit K keinen weiteren gemeinsamen Punkt.
> > Der Anfang ist noch ganz simpel: Tangente mithilfe von
> > Ableitung und Punkt B ermitteln: [mm]t(x)=3a^2x-2a^3.[/mm]
>
> Du musst nicht die ganze Tangentengleichung ermitteln, um
> die Normalensteigung zu berechnen.
>
> > m von Normale ist ja negatives Reziproke von von m der
> > tangente also [mm]-1/3a^2.[/mm]
> > gleichung von n(x) lässt sich also mit y=m(x-x0)+y0
> > ermitteln,
> > also: [mm]y=-1/3a^2(x-a)+a^3.[/mm] -> y= [mm]^1/3a^2+1/3a+a^3[/mm]
>
> Hier fehlt jetzt irgendwie das x in der Normalengleichung,
> die m- und n-Werte sind aber richtig.
Ich denke, hier wurde beim ausmultiplizieren ein Fehler gemacht [mm] (\red{rot}), [/mm] d.h. die Werte sind nicht ganz korrekt, es muss heißen:
[mm] y=-\frac{1}{3}\blue{a^2}x [/mm] + [mm] \frac{1}{3}\red{a^3}+a^3
[/mm]
Im Folgenden zieht Steppenhahn die Faktoren mit a immer in den Nenner der Brüche, sie gehören aber in den Zähler [mm] (\blue{blau}).
[/mm]
Das restliche Vorgehen stimmt aber soweit mit Polynomdivision und Lösungen der quadratischen Gleichung.
Gruß,
Vreni
>
> > Um die Schnittpunkte von N und K nachzuweisen
> > gleichsetzen:
> > [mm]0=x^3+1/3a^2-1/3a-a^3.[/mm] Logisch Polynomdivision mit
> (x-a)
> > Da kommt jedoch [mm]x^2+ax+a^2+((1/3a^2-1/3a)/x-a)[/mm] raus.
> > Wie soll ich weiter vorgehen?
>
> Wenn ich K und N gleichsetze, erhalte ich
>
> [mm]x^{3} = -\bruch{1}{3a^{2}}*x+\bruch{1}{3a}+a^{3}[/mm]
>
> [mm]\gdw x^{3} +\bruch{1}{3a^{2}}*x-\bruch{1}{3a}-a^{3} = 0[/mm]
>
> Wenn ich nun die Polynomdivision durchführe, erhalte ich
> auf der linken Seite
>
> [mm]\gdw (x-a)*\left(x^{2}+a*x+a^{2}+\bruch{1}{3a^{2}}\right) = 0[/mm]
>
> Dann kann man mit den Lösungen der quadratischen Gleichung
> nachweisen, dass es keine weiteren Schnittpunkte als eben
> nur B gibt.
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