Tangente an Kreis < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Dinker |
Gegeben sind der Kreis k: [mm] (x-2)^{2} [/mm] + [mm] (y-1)^{2} [/mm] = 25 sowie der Punkt P(-3/11).
Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente von P an k
Hilfe ich schwimme
Hab zuerst einmal einen Punkt K auf dem Kreis ausgedacht
0 = [mm] y^{2} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] -4x -2y -21
Mit der Formel ergibt das:
[mm] y_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{-x^{2}+4x+22}
[/mm]
Das heisst mein Punkt K ist [mm] (x/\wurzel{-x^{2}+4x+22})
[/mm]
oder [mm] (x/\wurzel{+x^{2}-4x-22})
[/mm]
Wohl stimmt das schon was nicht...
Nun gilt [mm] \overrightarrow{KP} [/mm] * [mm] \overrightarrow{KM} [/mm] = 0
[mm] \vektor{-3-x \\ 11 + x^{2} -4x-22 } [/mm] * [mm] \vektor{2-x \\ 1 +x^{2}-4x-22 } [/mm] = 0
[mm] \vektor{-3-x \\ x^{2} -4x-11 } [/mm] * [mm] \vektor{2-x \\ x^{2}-4x-21 } [/mm] = 0
0 = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 8x^{3} -15x^{2} [/mm] + 129x + 225
...............................
Geht nicht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dinker,
> Gegeben sind der Kreis k: [mm](x-y)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm] = 25
Kannst Du noch mal die Gleichung überprüfen. Das ist keine Kreisgleichung.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Dinker |
Besten Dank
Hab nun die Gleichung korrigiert
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
wie möchtest Du die Aufgabe nun rechnen?
Mit Vektorrechnung geht das wie folgt (Skizze):
Du hast einen Kreis, der wie folgt definiert ist:
K: [mm] \vektor{2\\1}+\vec{c} [/mm] mit [mm] |\vec{c}|=5
[/mm]
Nun suchen wir einen bestimmten Vektor [mm] \vec{c_t}, [/mm] der auch die Bedingung [mm] |\vec{c_t}|=5 [/mm] erfüllt, sowie einen Vektor [mm] \vec{x} [/mm] mit folgenden Bedingungen:
I) [mm] \vektor{2\\1}+\vec{c_t}+\vec{x}=\vektor{-3\\11}
[/mm]
II) [mm] \vec{c_t}*\vec{x}=0
[/mm]
Tipp: multipliziere die ganze Gleichung I) einmal mit [mm] \vec{c_t}.
[/mm]
Viel Erfolg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Dinker |
Besten Dank
Hast sicher etwas Mitleid erhalten, da niemand antwortete.
Werde mich später nochmals daran versuchen, anhand deines Vorgehens.
gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dinker,
Du kommst auch mit Deinem Ansatz weiter. Allerdings sind Dir einige Fehler unterlaufen.
> Gegeben sind der Kreis k: [mm](x-2)^{2}[/mm] + [mm](y-1)^{2}[/mm] = 25 sowie
> der Punkt P(-3/11).
> Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente von P an k
>
> Hilfe ich schwimme
>
> Hab zuerst einmal einen Punkt K auf dem Kreis ausgedacht
>
> 0 = [mm]y^{2}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] -4x -2y -21
Die Gleichung ist
$ [mm] y^2 [/mm] - 2y + [mm] x^2 [/mm] - 4x -20 =0 $
>
> Mit der Formel ergibt das:
>
> [mm]y_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{-x^{2}+4x+22}[/mm]
Die p-q-Formel liefert ein anderes Ergebnis.
>
> Das heisst mein Punkt K ist [mm](x/\wurzel{-x^{2}+4x+22})[/mm]
> oder [mm](x/\wurzel{+x^{2}-4x-22})[/mm]
>
> Wohl stimmt das schon was nicht...
>
> Nun gilt [mm]\overrightarrow{KP}[/mm] * [mm]\overrightarrow{KM}[/mm] = 0
>
> [mm]\vektor{-3-x \\ 11 + x^{2} -4x-22 }[/mm] * [mm]\vektor{2-x \\ 1 +x^{2}-4x-22 }[/mm]
> = 0
>
> [mm]\vektor{-3-x \\ x^{2} -4x-11 }[/mm] * [mm]\vektor{2-x \\ x^{2}-4x-21 }[/mm]
> = 0
Wo sind die Wurzel geblieben?
>
> 0 = [mm]x^{4}[/mm] - [mm]8x^{3} -15x^{2}[/mm] + 129x + 225
> ...............................
>
> Geht nicht
Rechnerisch wird es einfacher, wenn Du die Kreisgleichung nicht nach y löst:
$ [mm] x^2 [/mm] - 4x [mm] +y^2 [/mm] - 2y = 20 $ und
$ [mm] \vektor{x-2 \\ y-1} [/mm] * [mm] \vektor{x+3 \\ y-11} [/mm] = 0 $
Die zweite Gleichung führt wieder zu einer quadratischen Gleichung in x und y. Wenn Du nun die beiden Gleichungen subtrahierst, fallen die Quadrate weg. Du kannst dann nach x oder y losen und in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.
Ich denke, dann kommst Du alleine weiter.
Gruß
Sigrid
Dann hast Du die beiden
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Dinker |
Besten Dank Sigrid
Q ist der Tangententenpunkt
0 = [mm] \overrightarrow{QP} [/mm] * [mm] \overrightarrow{QM}
[/mm]
0 = [mm] \vektor{x + 3 \\ y - 11} [/mm] * [mm] \vektor{x - 2 \\ y - 1}
[/mm]
0 = (x + 3) *(x-2) + (y-11) * (y-1)
[mm] x^{2} +y^{2} [/mm] + x -12y + 5 = 0
[mm] x^{2} +y^{2} [/mm] -4x -2y -20 = 0
[mm] x^{2} +y^{2} [/mm] + x -12y + 5 = [mm] x^{2} +y^{2} [/mm] -4x -2y -20
5x -10y + 25 =0
Wo liegt das Problem, dass ich eine der beiden Unbekannten nicht wegkriege?
Besten Dank
Gruss Dinker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Dinker |
Also habs mir nochmals überlegt.
Muss ich noch davon gebrauch machen, dass der Radius 5 beträgt?
Gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Mi 21.01.2009 | | Autor: | weduwe |
> Also habs mir nochmals überlegt.
>
> Muss ich noch davon gebrauch machen, dass der Radius 5
> beträgt?
>
> Gruss Dinker
na klar mußt du davon gebrauch machen,
du weißt ja, dass der tangentenpunkt Q(x/y) auf dem kreis liegt.
die eine beziehung aus dem skalarprodukt (oder über die polare, oder den thaleskreis) heißt
x = 2y-5
das setzt du nun in
(x- [mm] 2)^2+(y-1)^2=25 [/mm] ein
[mm] (2y-7)^2+(y-1)^2=25
[/mm]
was z.b. [mm] Q_1(5/5) [/mm] ergibt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Mi 21.01.2009 | | Autor: | reverend |
Tja, diese Frage stelle ich mir vorgestern auch...
Der Weg scheint ja doch nicht so einfach zu sein.
Ich kann die Aufgabe damit jedenfalls nicht lösen.
Grüße,
reverend
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Für diese Aufgabe gibt es die verschiedensten
Zugangsmöglichkeiten (Diskriminantenmethode,
Trigonometrie, Vektoren und Skalarprodukt etc.)
Ein geometrischer Zugang wäre z.B. folgender:
Betrachte das Dreieck PMB, wobei B einer der
Tangentenberührungspunkte ist. Berechne mit
Pythagoras die Länge t der Strecke [mm] \overline{PB}.
[/mm]
Dann sind die gesuchten Berührpunkte [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2
[/mm]
die Schnittpunkte des Kreises k mit dem Kreis
mit Radius t um P.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Dinker,
> Besten Dank Sigrid
>
>
> Q ist der Tangententenpunkt
>
> 0 = [mm]\overrightarrow{QP}[/mm] * [mm]\overrightarrow{QM}[/mm]
>
> 0 = [mm]\vektor{x + 3 \\ y - 11}[/mm] * [mm]\vektor{x - 2 \\ y - 1}[/mm]
>
> 0 = (x + 3) *(x-2) + (y-11) * (y-1)
>
>
> [mm]x^{2} +y^{2}[/mm] + x -12y + 5 = 0
> [mm]x^{2} +y^{2}[/mm] -4x -2y -20 = 0
>
> [mm]x^{2} +y^{2}[/mm] + x -12y + 5 = [mm]x^{2} +y^{2}[/mm] -4x -2y -20
>
> 5x -10y + 25 =0
>
> Wo liegt das Problem, dass ich eine der beiden Unbekannten
> nicht wegkriege?
Das ist ganz normal. Du musst nur weiterrechnen:
$ 5x -10y + 25 =0 [mm] \gdw [/mm] x = 2y -5 $
Jetzt setzt Du den Term für x in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein. Ich nehme die erste:
$ [mm] (2y-5)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2y-5 -12y + 5 = 0 $
Jetzt hast Du nur noch eine Variable.
Gruß
Sigrid
PS Die Berührpunkte sind [mm] b_1(5;5) [/mm] und [mm] B_2(-3;1)
[/mm]
>
> Besten Dank
> Gruss Dinker
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mi 21.01.2009 | | Autor: | reverend |
Jeechen. Da hab ich was viel Komplizierteres "hineingesehen" und einfach nicht weitergerechnet. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Sorry,
reverend
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![[verschoben]](/images/smileys/verschoben.gif "[verschoben]"){kind=small}
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
