Tangente an einen Kreis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei C ein Kreis mit Mittelpunkt O und sei P [mm] \in [/mm] C. Zeigen Sie, dass das
Lot auf OP in P eine Tangente auf C in P ist. |
Hallo ihr.
Zu dieser Aufgabe habe ich mal eine Skizze vorbereitet, ich hoffe sie ist für alle lesbar.
file:///Users/sandrahillenbrand/Documents/Konstruktion.html
Zu zeigen wäre, dass es keinen Punkt C gibt, sodass die Strecke CO kleiner als die Strecke OP= Radius ist.
Wir wissen aus der Vorlesung, dass der Außenwinkel eines Winkels immer größer ist als jeweils die nicht anliegenden Innenwinkel. damit sind die beiden anderen auf jeden fall kleiner als 90Grad und dem größten Winkel liegt die größte Seite gegenüber.
Damit wäre ich fertig oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. kommt drauf an wie Kreis definiert ist.
a) symetrisch zu jedem Durchmesser, also spiegle an OP, Kreis geht über in sich, dann muss es die Tangente auch, nur senkrechte Geraden werden auf sich selbst gespiegelt.
b) all pkte gleichweit von O entfernt: zu beweisen, nur wenn die Gerade senkrecht steht, gibt es ausser OP nur Pkte, OQ auf ihr , die weiter als OP entfernt sind. ist der Winkel <90° gibt es Punkte Q mit OQ<r und Pkte S miit OS>r auf der Geraden.
dein Bild kann man nicht sehen! sieh unter Bildanhang. und häng es an. nach dem senden dann hochladen.
Gruss leduart
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Eine Tangente haben wir folgendermaßen definiert:
Sei C ein Kreis und sei P auf C. Eine Gerade l durch P heißt Tangente
auf C in P falls l [mm] \cap [/mm] C = {P}.
Das Bild habe ich nun auch einmal angehangen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir "befinden" uns in der euklidischen Geometrie, sodass kongruenzen zum Beispiel benutzt werden dürfen.
ist aber dann nicht dass was ich geschrieben habe richtig?
Lg sandra
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: tiff) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nachdem ich dein Argument verstanden hab, ist es nicht falsch.
Nur deine Formulierung ist sehr schlecht.
schlecht ist auch, dass dein Kreis C heisst, der Pkt. auf der senkrechten auch C.
Was du sagen willst: errichtet man in [mm] P\inC [/mm] eine Senkrechte auf OP und wählt auf dieser einen beliebigen weiteren Punkt Q, dann kann man das Dreieck OPQbetrachten, indiesem ist der Winkel 90° bei P der grösste, also ist auch die Seite OQ länger als OP, damit liegt Q ausserhalb von C. da C die Menge aller Punkte P mit OP=const=r ist.
(das mit den Nebenwinkeln find ich dabei umständlich, die Summe der Innenwinkel ist 180°, also ist die Summe der Winkel bei O und Q 90°, d.h. jeder ist kleiner als 90°)
Direkter gings mit dem im euklid. Raum gültigen Pythagoras:
[mm] OP^2+PQ^2=OQ^2 [/mm] daraus OQ>OP.
Zusammengefasst; dein Argument war bzw. ist richtig, aber nicht gut formuliert. (z:Bsp: man kann nicht von "Nebenwinkel" reden, wenn man nicht vorher von nem Dreieck geredet hat)
Gruss leduart
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