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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Di 21.02.2006 | | Autor: | SusanneS |
| Aufgabe | | Gesucht wird die Tangente an die Funktion f(x)= [mm] (x^2-4*x+4)/(3-x), [/mm] die durch den Punkt P (3;1) verläuft, welcher kein Punkt der Funktion ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich wüsste gerne wie man diese Tangente berechnet. Ich weiß leider nur wie man die Tangente berechnet, wenn der Punkt auf der Funktion liegt.
Mein Ansatz war bisher die erste Ableitung der Funktion zu bilden, sie so weit wie möglich zu vereinfachen und sie dann als m in die Gleichung y= mx+n einzusetzen. Anschließend habe ich für x und y die Werte des Punktes eingesetzt und nach n umgestellt.
Man sagte mir aber ich bräuchte noch eine zweite Bedingung. Ab der Stelle komme ich leider nicht weiter.
Es wäre nett wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Danke, Susanne.
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Hallo,
die Aufgabe macht so meiner Meinung keinen Sinn, da die Tangente an jedem Punkt der Funktion anders aussehen kann. Sie hat jedoch stets als Steigung die Ableitung der Funktion in gerade dem Punkt [mm] (x_{0}|y_{0}). [/mm] Die Ableitung kannst du aber in Abhängigkeit von x ausrechnen. Diese Steigung, nennen wir sie m, kannst du nun in die Funktion y=mx+n einsetzen. Außerdem noch den Punkt, den du gegeben hast und damit kann dann n berechnet werden und die Tangentengleichung steht da!
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 21.02.2006 | | Autor: | riwe |
die aufgabe macht schon sinn
bilde die 1. ableitung, dann hast du die steigung [mm] m_0 [/mm] der tangente in dem gesuchten punkt [mm] P_0(x_0/y_0) [/mm] . mit diesem [mm] m_0 [/mm] erstellst du die gerade durch P(3/1) und setzt für [mm] y_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] ein.
[mm] y-y_0=\frac{-x_0^{2}+6x_0-8}{(3-x_0)^{2}}\cdot (x-x_0)
[/mm]
den index 0 lasse ich nun weg.
[mm] 1-\frac{x^{2}-4x+4}{3-x}=\frac{-x^{2}+6x-8}{(3-x)^{2}}(3-x)
[/mm]
mit der lösung [mm] x=\frac{7}{3} \text{ und damit }Q(\frac{7}{3}/\frac{1}{6})[/mm]
die gerade durch PQ zu erstellen, sollte kein problem sein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Di 21.02.2006 | | Autor: | riwe |
noch einfacher und ganz ohne differenzieren: g: y = mx + n, P(3/1) einsetzen,
ergibt y = mx + 1 - 3m.
die gerade nun mit y = f(x) schneiden. das liefert die quadratische gleichung in x:
[mm] x^{2}(1+m)-x(3+6m)+1+9m=0.
[/mm]
da g tangente ist, darf diese gleichung NUR EINE lösung haben. daher muß der ausdruck unter der wurzel = 0 sein. das macht 5 - 4m = 0 und in [mm] x=\frac{3+6m}{2(1+m)} [/mm] eingesetzt, -gott sei dank- wieder [mm]x=\frac{7}{3}[/mm]
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