Tangente durch Punkt an Fkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=x^2+2x+2
[/mm]
Tangente an f(x) von (-1;-3) aus |
Hallo,
bei der oben gestellten Aufgabe habe ich ein Problem. Irgendwie fehlt mir der letzte Kniff.
Die Steigung der Tangente ist ja die erste Ableitung von f(x) also:
f'(x)=2x+2
Jetzt in die Tangente y=mx+b einsetzen.
y=(2x+2)*x+b
Kann ich jetzt den Punkt von oben einsetzen um b zu bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 13.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]f(x)=x^2+2x+2[/mm]
>
> Tangente an f(x) von (-1;-3) aus
> Hallo,
> bei der oben gestellten Aufgabe habe ich ein Problem.
> Irgendwie fehlt mir der letzte Kniff.
>
> Die Steigung der Tangente ist ja die erste Ableitung von
> f(x) also:
>
> f'(x)=2x+2
>
> Jetzt in die Tangente y=mx+b einsetzen.
>
> y=(2x+2)*x+b
>
> Kann ich jetzt den Punkt von oben einsetzen um b zu
> bestimmen?
Yep, kannst du.
Ich würde aber erst die Steigung an der Stelle x=1 direkt errechnen.
Also f'(1)=2*1+2=4
Und jetzt:
f(x)=m*x+b
3=4*1+b
[mm] \gdw [/mm] b=-1
Also:
[mm] t(x)=\underbrace{4}_{=f'(1)}*x-1
[/mm]
Marius
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Hallo Marius,
wieso berechnest du die Steigung an der Stelle x=1 ?? Der Punkt lautet doch (-1;-3). Hast du vll auch beim einsetzen einfach das Minus vergessen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 13.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> wieso berechnest du die Steigung an der Stelle x=1 ?? Der
> Punkt lautet doch (-1;-3). Hast du vll auch beim einsetzen
> einfach das Minus vergessen?
Opps, hast recht.
Marius
*Wer lesen kann, ist klar im Vorteil*
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Ok, also:
f'(-1) = 2*(-1)+2
f'(-1) = 0
Was passiert jetzt hier?
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Hallo, du hattest für die Tangente(n):
[mm] y_T=(2x+2)*x+b
[/mm]
jetzt kennst du einen Punkt der Tangente(n) (-1; -3), einsetzen ergibt:
-3=(2x+2)*(-1)+b
-3=-2x-2+b
b=2x-1
somit hast du für die Tangente(n):
[mm] y_T=(2x+2)*x+2x-1
[/mm]
[mm] y_T=2x^{2}+4x-1
[/mm]
jetzt Funktion und Tangente(n) gleichsetzen:
[mm] 2x^{2}+4x-1=x^{2}+2x+2
[/mm]
diese quadratische Gleichung kannst Du lösen, Du erhälst die Stellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] an denen sich Funktion und Tangenten berühren, somit hast du für jede Tangente zwei Punkte,
Steffi
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> [mm]y_T=(2x+2)*x+b[/mm]
>
> jetzt kennst du einen Punkt der Tangente(n) (-1; -3),
> einsetzen ergibt:
>
> -3=(2x+2)*(-1)+b
> -3=-2x-2+b
> b=2x-1
>
Hallo Steffi,
wie ich sehe hast du den Punkt ja eingesetzt, außer für das x in der Steigung. Wieso auch nicht in das m ?? Schon mal danke dafür.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phil!
> wie ich sehe hast du den Punkt ja eingesetzt, außer für das
> x in der Steigung. Wieso auch nicht in das m ??
Dieses $x_$ in Steffis Formel ist ja die Berührstelle zwischen Kurve und der gesuchten Tangente. Und diese Berührstelle $x_$ kennen wir noch gar nicht.
Etwas günstiger wäre es gewesen, auch unterschiedliche Bezeichnungen einzuführen mit Berührpunkt $B \ [mm] \left( \ x_B \ | \ y_B \ \right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 13.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Der Punkt liegt ja nich auf der Parabel drauf, deswegen kann man nicht einfach die Steigung in diesem Punkt berechnen.
Stattdessen kannst du es so machen:
Du erstellt die Geradengleichung für eine allgemeine Tangente an der Parabel mit der Form: t(x)=f'(a)(x-a)+f(a), wobei P(a|f(a)) ein Punkt der Parabel ist.
Der Punkt A(-1|-3) liegt auf der Tangente. Also kannst du ihn in die Tangente einsetzen um noch das a rauszukriegen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 13.01.2008 | | Autor: | weduwe |
alternativ kannst du so vorgehen
[mm]g: y=mx+n\to y=mx+m-3[/mm] jetzs schneidest du g mit der parabel
und beachtest, dass g tangente sein soll, also für die diskriminante der quadratischen gleichung in x D = 0 gilt.
daraus erältst du
[mm]D²=(2-m)²-4(5-m)=0\to m=\pm 4[/mm]
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