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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Behauptung : Die Tangente , deren x-Wert in der Mitte zweier Nulstellen (a und b) liegt, hat als Nullstelle die 3. Nullstelle(c)! |
Es handelt sich dabei um eine Funktion dritten Grades (daher auch die drei Nullstellen)!
Ich habe dann mal überlegt, dass in allgemeiner Form dies erstmal so aussehen müsste:
f(x)= n ( beliebiger Faktor) *(a-x)(b-x)(c-x)
Dann muss man von den beiden die Mitte finden ( also von a und b). Das müsste dann
a+b/2 sein....
Weiter komme ich jetzt aber nicht! Könnt ihr mir helfen ??
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Hi, Dieter,
> Untersuchen Sie die Behauptung : Die Tangente , deren
> x-Wert in der Mitte zweier Nulstellen (a und b) liegt, hat
> als Nullstelle die 3. Nullstelle(c)!
> Es handelt sich dabei um eine Funktion dritten Grades
> (daher auch die drei Nullstellen)!
>
> Ich habe dann mal überlegt, dass in allgemeiner Form dies
> erstmal so aussehen müsste:
>
> f(x)= n ( beliebiger Faktor) *(a-x)(b-x)(c-x)
>
> Dann muss man von den beiden die Mitte finden ( also von a
> und b). Das müsste dann
>
> a+b/2 sein....
Genauer: [mm] \bruch{a+b}{2}
[/mm]
Nun musst Du Deinen Funktionsterm
ausmultiplizieren und
dann ableiten.
In die Ableitung setzt Du dann [mm] x=\bruch{a+b}{2} [/mm] ein, dann hast Du die gewünschte Tangentensteigung.
Die Tangentengleichung erhältst Du wie üblich.
Die musst Du dann nur noch =0 setzen und wenn Du Dich nicht verrechnest, kriegst Du x=c raus.
mfG!
Zwerglein
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Also ich habe den Funktionsterm ausmultipliziert. Dabei habe ich :
pabc-pabx-pacx+pax²-xabc+x²ab+x²ac-x³a
Dann habe ich das abgeleitet:
pabc-pab-pab-pac+2pax-abc+2abx+2acx-3ax²
Habe ich das bis dahin richtig gemacht , oder ist mir da ein Fehler passiert. Bei solch langen Termen schleichen sich bei mir immer schnell Fehler ein!
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Hallo dieter334!
> Also ich habe den Funktionsterm ausmultipliziert. Dabei
> habe ich :
>
> pabc-pabx-pacx+pax²-xabc+x²ab+x²ac-x³a
Wo kommt denn der Parameter 'p' auf einmal her?
>
> Dann habe ich das abgeleitet:
>
> pabc-pab-pab-pac+2pax-abc+2abx+2acx-3ax²
>
>
> Habe ich das bis dahin richtig gemacht , oder ist mir da
> ein Fehler passiert. Bei solch langen Termen schleichen
> sich bei mir immer schnell Fehler ein!
Hier mal die Lösung (wird etwas länger  ):
Ich gehe vom Funktionsterm f(x)=n(a-x)(b-x)(c-x) aus.
Multipliziert man diesen nacheinander aus, so erhält man:
[mm] f(x)=n[(ab-ax-bx+x^{2})(c-x)]=n(abc-abx-acx+ax^{2}-bcx+bx^{2}+cx^{2}-x^{3})
[/mm]
Zusammengfasst und x der Potenz nach geordnet und ausgeklammert erhält man dann:
[mm] f(x)=n[-x^{3}+(a+b+c)x^{2}-(ab+ac+bc)x+abc]
[/mm]
Die erste Ableitung von f(x) nach x ergibt:
[mm] f'(x)=n[-3x^{2}+2(a+b+c)x-(ab+ac+bc)]
[/mm]
Anstieg an der Stelle [mm] x=\bruch{a+b}{2} [/mm] beträgt:
[mm] f'(\bruch{a+b}{2})=n[-3(\bruch{a+b}{2})^{2}+2(a+b+c)(\bruch{a+b}{2})-(ab+ac+bc)]
[/mm]
[mm] =n[\bruch{-3}{4}(a^{2}+2ab+b^{2})+(a^{2}+2ab+b^{2}+ac+bc)-(ab+ac+bc)]
[/mm]
Die runden Klammern werden aufgelöst:
[mm] f'(\bruch{a+b}{2})=n[\bruch{-3}{4}a^{2}-\bruch{3}{2}ab-\bruch{3}{4}b^{2}+a^{2}+2ab+b^{2}+ac+bc-ab-ac-bc]
[/mm]
Das ganze ergibt zusammengefasst:
[mm] f'(\bruch{a+b}{2})=n(\bruch{1}{4}a^{2}-\bruch{1}{2}ab+\bruch{1}{4}b1{2})
[/mm]
Der Faktor [mm] \bruch{1}{4} [/mm] wird ausgeklammert:
[mm] f'(\bruch{a+b}{2})=\bruch{1}{4}n(a^{2}-2ab+b^{2})
[/mm]
Nun wenden wird die 2.Binomische Formel [mm] (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} [/mm] an:
[mm] f'(\bruch{a+b}{2})=\bruch{1}{4}n(a-b)^{2}
[/mm]
Die Tangente an f(x) an der Stelle x soll allgemein lauten: [mm] y_{t}=mx+q
[/mm]
Demnach beträgt der Anstieg m der Tangente von f(x) an der Stelle [mm] x=\bruch{a+b}{2} [/mm] allgemein ausgedrückt:
[mm] m=\bruch{1}{4}n(a-b)^{2}
[/mm]
Nun gilt es noch einen Punkt P von [mm] y_{t} [/mm] zu bestimmen. Diesen erhalten wir, indem wir den Funktionswert [mm] f(\bruch{a+b}{2}) [/mm] berechnen, da dieser Punkt P sowohl Punkt von f(x) als auch von [mm] y_{t} [/mm] ist. Es ergibt sich ( [mm] x=\bruch{a+b}{2} [/mm] wird dazu in f(x) eingesetzt):
[mm] f(\bruch{a+b}{2})=n(a-\bruch{a+b}{2})(b-\bruch{a+b}{2})(c-\bruch{a+b}{2})
[/mm]
Die Klammerinhalte werden gleichnamig gemacht:
[mm] f(\bruch{a+b}{2})=n(\bruch{2a-(a+b)}{2})(\bruch{2b-(a+b)}{2})(\bruch{2c-(a+b)}{2})
[/mm]
Die Nenner in den Klammern werden separat ausmultipliziert und die Zähler werden zusammengefasst:
[mm] f(\bruch{a+b}{2})=\bruch{n}{8}(a-b)(b-a)(2c-a-b)
[/mm]
Der Punkt P hat demnach die Koordinaten [mm] P(\bruch{a+b}{2}; \bruch{n}{8}(a-b)(b-a)(2c-a-b))
[/mm]
Den Punkt P und den vorher ermittelten Anstieg m der Tangente setzen wir in unsere Tangentengleichung [mm] y_{t}=mx+q [/mm] ein und erhalten:
[mm] \bruch{n}{8}(a-b)(b-a)(2c-a-b)=\bruch{n}{4}(a-b)^{2}*\bruch{a+b}{2}+q
[/mm]
Auf der rechten Seite der Gleichung vereinfachen wir ein wenig, indem wir die Nenner ausmultiplizieren und erhalten:
[mm] \bruch{n}{8}(a-b)(b-a)(2c-a-b)=\bruch{n}{8}(a-b)^{2}*(a+b)+q
[/mm]
Nun wenden wir auf der linken Seite einen kleinen 'Trick' an, indem wir den Term (b-a) umformen zu (b-a)=-(a-b). Danach sieht die Gleichung wie folgt aus:
[mm] -\bruch{n}{8}(a-b)(a-b)(2c-a-b)=\bruch{n}{8}(a-b)^{2}*(a+b)+q
[/mm]
Somit können wir für (a-b)(a-b) die 2.binomische Formel anwenden und [mm] (a-b)^{2} [/mm] dafür schreiben. Wir erhalten:
[mm] -\bruch{n}{8}(a-b)^{2}(2c-a-b)=\bruch{n}{8}(a-b)^{2}*(a+b)+q
[/mm]
Nun stellen wir die Gleichung nach q um und es ergibt sich:
[mm] q=-\bruch{n}{8}(a-b)^{2}(2c-a-b)-\bruch{n}{8}(a-b)^{2}*(a+b)
[/mm]
Wir Klammern den Term [mm] -\bruch{n}{8}(a-b)^{2} [/mm] aus und erhalten:
[mm] q=-\bruch{n}{8}(a-b)^{2}(2c-a-b+a+b)=-\bruch{n}{8}(a-b)^{2}*(2c)
[/mm]
Den Faktor 2 vor dem c und die 8 im Nenner kürzen wir. Demnach ergibt sich für q:
[mm] q=-\bruch{n}{4}(a-b)^{2}*c
[/mm]
Die Tangentengleichung [mm] y_{t} [/mm] lautet letztendlich:
[mm] y_{t}=mx+q=\bruch{1}{4}n(a-b)^{2}*x-\bruch{n}{4}(a-b)^{2}*c
[/mm]
Nun gilt es nur noch zu zeigen, daß die Nullstelle dieser Tangente c ist. Dazu setzen wir zunächst [mm] y_{t}=0:
[/mm]
[mm] 0=\bruch{1}{4}n(a-b)^{2}*x-\bruch{n}{4}(a-b)^{2}*c
[/mm]
Wir rechnen auf beiden Seiten [mm] +\bruch{n}{4}(a-b)^{2}*c [/mm] und erhalten:
[mm] \bruch{n}{4}(a-b)^{2}*c=\bruch{1}{4}n(a-b)^{2}*x
[/mm]
Nun noch durch [mm] \bruch{n}{4}(a-b)^{2} [/mm] auf beiden Seiten dividiert und es ergibt sich:
[mm] \bruch{\bruch{n}{4}(a-b)^{2}}{\bruch{n}{4}(a-b)^{2}}*c=\bruch{\bruch{n}{4}(a-b)^{2}}{\bruch{n}{4}(a-b)^{2}}*x
[/mm]
Da [mm] \bruch{\bruch{n}{4}(a-b)^{2}}{\bruch{n}{4}(a-b)^{2}}=1 [/mm] erhalten wir nun endlich:c=x
q.e.d
Das wars 'schon'.
Gruß,
Tommy
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