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| Aufgabe | Man bestimme die Tangente an der Kurve (x,f(x)) im Punkt [mm] (x_0,f(x_0)):
[/mm]
f(x) = [mm] \wurzel{1-x^2}, x_0=1/2,0,-1/2 [/mm] |
Def.:
Sei f an [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, dann heißt die Gerade mit der Gleichung
y= [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] f'(x_0) +*(x-x_0) [/mm] Tangente dan der Stelle [mm] x_0
[/mm]
Das heißt, ich muss vorher die Funktion an den STellen [mm] x_0 [/mm] auf differenzierbarkeit überprüfen muss?
[mm] lim_{h->0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
[mm] lim_{h->0} \frac{\wurzel{1-(x_0+h)^2}-\wurzel{1-x_0^2}}{h}
[/mm]
[mm] x_0=1/2
[/mm]
[mm] lim_{h->0} \frac{\wurzel{1-1/4-h-h^2}-\wurzel{3/4}}{h}
[/mm]
[mm] lim_{h->0} \frac{\wurzel{3/4-h-h^2}-\wurzel{3/4}}{h}
[/mm]
-- Wie mache ich jetzt weiter?? --
[mm] x_0=0
[/mm]
[mm] lim_{h->0} \frac{\wurzel{1-(h)^2}-\wurzel{1}}{h}
[/mm]
--WIe gehts hier weiter=?
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Hallo theresetom,
> Man bestimme die Tangente an der Kurve (x,f(x)) im Punkt
> [mm](x_0,f(x_0)):[/mm]
> f(x) = [mm]\wurzel{1-x^2}, x_0=1/2,0,-1/2[/mm]
> Def.:
> Sei f an [mm]x_0[/mm] differenzierbar, dann heißt die Gerade mit
> der Gleichung
> y= [mm]f(x_0)[/mm] + [mm]f'(x_0) +*(x-x_0)[/mm] Tangente dan der Stelle [mm]x_0[/mm]
Das hintere "+" ist dir dazwischengerutscht, das muss weg!
>
> Das heißt, ich muss vorher die Funktion an den STellen [mm]x_0[/mm]
> auf differenzierbarkeit überprüfen muss?
Nee, das ist doch klar, berechne einfach mit der Kettenregel die Ableitung und werte sie an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] aus ...
>
>
> [mm]lim_{h->0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
> [mm]lim_{h->0} \frac{\wurzel{1-(x_0+h)^2}-\wurzel{1-x_0^2}}{h}[/mm]
>
> [mm]x_0=1/2[/mm]
> [mm]lim_{h->0} \frac{\wurzel{1-1/4-h-h^2}-\wurzel{3/4}}{h}[/mm]
>
> [mm]lim_{h->0} \frac{\wurzel{3/4-h-h^2}-\wurzel{3/4}}{h}[/mm]
> --
> Wie mache ich jetzt weiter?? --
Hier könnte man so erweitern, dass man im Zähler die 3.binomische Formel erhält, also mit [mm] $\sqrt{3/4-h-h^2}\red{+}\sqrt{3/4}$
[/mm]
Das ist ein guter "Trick", um Summen bzw. Differenzen von Wurzeln loszuwerden.
Mache das, dann kannst du schließlich im Zähler $h$ ausklammern, es gegen das $h$ im Nenner kürzen und dann [mm] $h\to [/mm] 0$ gehen lassen.
Aber wie gesagt: Kettenregel und dann in [mm] $x_0$ [/mm] auswerten.
Man muss das Rad ja nicht immer neu erfinden ...
> [mm]x_0=0[/mm]
> [mm]lim_{h->0} \frac{\wurzel{1-(h)^2}-\wurzel{1}}{h}[/mm]
> --WIe
> gehts hier weiter=?
Gruß
schachuzipus
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Okay also muss ich das nicht machen.
Trotzdem:
> $ [mm] lim_{h->0} \frac{\wurzel{3/4-h-h^2}-\wurzel{3/4}}{h} [/mm] $
> --
> Wie mache ich jetzt weiter?? --
> Hier könnte man so erweitern, dass man im Zähler die 3.binomische Formel erhält, also mit $ [mm] \sqrt{3/4-h-h^2}\red{+}\sqrt{3/4} [/mm] $
> Das ist ein guter "Trick", um Summen bzw. Differenzen von Wurzeln loszuwerden.
[mm] lim_{h->0}\frac{3/4-h-h^2-3/4}{h*(\wurzel{3/4-h-h^2}+\wurzel{3/4})} [/mm]
[mm] lim_{h->0}\frac{h*(-1-h^2)}{h*(\wurzel{3/4-h-h^2}+\wurzel{3/4})} [/mm]
[mm] lim_{h->0}\frac{(-1-h^2)}{(\wurzel{3/4-h-h^2}+\wurzel{3/4})} [/mm]
= -1/(2* [mm] \wurzel{3/4})
[/mm]
Oder ist das jetzt ganz daneben?
Zurück zur eigentlichen Aufgabe:
f'(x)= [mm] \frac{2x}{(1-x^2)^2} [/mm]
f'(1/2) = 9/16
y= $ f(1/2) $ + $ f'(1/2) [mm] \cdot{}(x-1/2) [/mm] $
y= [mm] \wurzel{3/4} [/mm] + 9/16 * (x-1/2)
y= [mm] \wurzel{3/4} [/mm] + 9/16 x - 9/32
So dann ?
Liebe grüße
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Hallo nochmal,
> Okay also muss ich das nicht machen.
>
> Trotzdem:
> > [mm]lim_{h->0} \frac{\wurzel{3/4-h-h^2}-\wurzel{3/4}}{h}[/mm]
> >
> --
> > Wie mache ich jetzt weiter?? --
>
> > Hier könnte man so erweitern, dass man im Zähler die
> 3.binomische Formel erhält, also mit
> [mm]\sqrt{3/4-h-h^2}\red{+}\sqrt{3/4}[/mm]
>
> > Das ist ein guter "Trick", um Summen bzw. Differenzen von
> Wurzeln loszuwerden.
>
> [mm]lim_{h->0}\frac{3/4-h-h^2-3/4}{h*(\wurzel{3/4-h-h^2}+\wurzel{3/4})}[/mm]
>
> [mm]lim_{h->0}\frac{h*(-1-h^2)}{h*(\wurzel{3/4-h-h^2}+\wurzel{3/4})}[/mm]
>
>
> [mm]lim_{h->0}\frac{(-1-h^2)}{(\wurzel{3/4-h-h^2}+\wurzel{3/4})}[/mm]
>
> = -1/(2* [mm]\wurzel{3/4})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm]
> Oder ist das jetzt ganz daneben?
Nein, das passt!
>
>
> Zurück zur eigentlichen Aufgabe:
> f'(x)= [mm]\frac{2x}{(1-x^2)^2}[/mm]
??
Mit [mm]f(x)=\sqrt{1-x^2}[/mm] ist [mm]f'(x)=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot{}\left(\underbrace{-2x}_{\text{innere Abl.}}\right)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
> f'(1/2) = 9/16
Wie passt das denn zu der oben über den Differenzenquotienten ausgerechneten Ableitung an der Stelle [mm]x_0=1/2[/mm] ?
Gar nicht!
Das sollte dich doch stutzig machen ...
>
> y= [mm]f(1/2)[/mm] + [mm]f'(1/2) \cdot{}(x-1/2)[/mm]
> y= [mm]\wurzel{3/4}[/mm] + 9/16 * (x-1/2)
> y= [mm]\wurzel{3/4}[/mm] + 9/16 x - 9/32
>
> So dann ?
Nä, da musst du nochmal ansetzen, du hattest du schon alles beisammen und hast es dann verschlimmbessert!
> Liebe grüße
Zurück!
schachuzipus
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Bin ich blöd^^ Bin grad auf einen banalen fehler gstoßen am anfang ^^
$ [mm] f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} [/mm]
f'(1/2) = [mm] \frac{1/2}{\sqrt{3/4}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\sqrt{3/4}}
[/mm]
f(1/2) [mm] =\sqrt{3/4}
[/mm]
y= $ f(1/2) $ + $ f'(1/2) [mm] \cdot{}(x-1/2) [/mm] $
y= [mm] \sqrt{3/4} [/mm] + [mm] \frac{1}{2 \sqrt{3/4}} [/mm] * (x-1/2)
y= [mm] \sqrt{3/4} [/mm] + [mm] \frac{x}{2\sqrt{3/4}} [/mm] - [mm] \frac{1}{4\sqrt{3/4}}
[/mm]
y= [mm] \frac{1}{2*\sqrt{3/4}} +\frac{x}{2\sqrt{3/4}}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Bin ich blöd^^ Bin grad auf einen banalen fehler gstoßen
> am anfang ^^
>
> $ [mm]f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
> f'(1/2) = [mm]\frac{1/2}{\sqrt{3/4}}[/mm] = [mm]\frac{1}{2\sqrt{3/4}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich dachte, das hatten wir doch nun schon!!
[mm] $f'(1/2)=\red{-}\frac{1}{\sqrt{3}}$
[/mm]
> f(1/2) [mm]=\sqrt{3/4}[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
>
> y= [mm]f(1/2)[/mm] + [mm]f'(1/2) \cdot{}(x-1/2)[/mm]
> y= [mm]\sqrt{3/4}[/mm] + [mm]\frac{1}{2 \sqrt{3/4}}[/mm] * (x-1/2)
> y= [mm]\sqrt{3/4}[/mm] + [mm]\frac{x}{2\sqrt{3/4}}[/mm] - [mm]\frac{1}{4\sqrt{3/4}}[/mm]
> y= [mm]\frac{1}{2*\sqrt{3/4}} +\frac{x}{2\sqrt{3/4}}[/mm]
Nein, noch nicht ganz ...
Gruß
schachuzipus
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okay.
y= [mm] \wurzel{3}/2 [/mm] + [mm] -x/\wurzel{3} +\frac{1}{2*\wurzel{3}}
[/mm]
y= [mm] 2/\wurzel{3} [/mm] - [mm] \frac{x}{\wurzel{3}}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> okay.
> y= [mm]\wurzel{3}/2[/mm] + [mm]-x/\wurzel{3} +\frac{1}{2*\wurzel{3}}[/mm]
>
> y= [mm]2/\wurzel{3}[/mm] - [mm]\frac{x}{\wurzel{3}}[/mm]
Jo, passt!
Gruß
schachuzipus
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