Tangenten an 2 Kreise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Do 20.07.2006 | | Autor: | fizzilee |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, leider wird der knopf in meinem hirn immer grösser, deshalb habe ich unbedingt etwas hilfe nötig.
Ich modelliere gerade einen Riemenantrieb eines Fahrzeuges, dazu brauche ich die genauen Geometrischen abmessungen des Riementriebes.
Meine Aufgabe lautet: Ich habe zwei Kriese in einer Ebene (die zwei Riemenscheiben) mit den Mittelpunkten [mm] \vektor{ x_{1}\\ y_{1}} [/mm] und [mm] \vektor{ x_{2}\\ y_{2}} [/mm] und Radien [mm] r_{1} [/mm] und [mm] r_{2} [/mm] und suche die zwei äusseren Tangenten (welche sich NICHT zwischen den Kreisen kreuzen).
Erster Lösungsansatz:
1. Die Berührungspunkte zw. Tangente und Kreis können durch die Kreisgleichungen [mm] x^{2}+y^{2}=r^{2} [/mm] beschrieben werden.
2. Die Tangenten stehen normal auf die Radien. (Kreuzprodukt bzw Hesse-Normal-Form).
3 Fallunterscheidungen
Meine Frage:
leider bin ich nicht fähig die mathematisch aufzulösen....
Besten Dank im vorraus! Gruß fizzilee
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So, ich habe grade ein ziemlich langen Text verfaßt, doch ich hab dann was kürzeres gefunden.
Zeichne die beiden Tangenten mal weiter, sodaß sie sich treffen. Zeiche auch eine Grade duch den Schnittpunkt und die kreismittelpunkte. Der Abstand f des Schnittpunktes vom Mittelpunkt des kleinen Kreises ist einfach [mm] $f=r\bruch{R-r}{d}$ [/mm] (Strahlensatz), wobei d der Abstand der Kreise ist und r, R die Kreisradien sind. Die Koordinate des Schnittpunktes ist dann [mm] $\vec [/mm] f= [mm] \vec m+f(\vec m-\vec [/mm] M)$. Dies ist gleichzeitig der Aufpunktvektor für beide Tangenten.
Für den Richtungsvektor gibt es nun zwei Möglichkeiten. Einerseits kannst du dir eine Normale zu [mm] $\vec d=(\vec m-\vec [/mm] M)$ basteln, und dann durch weitere Strahlensatzüberlegungen den Richtungsvektor zusammenfriemeln.
Andererseits kannst du auch den Winkel zwischen [mm] $\vec [/mm] d$ und dem Richtungsvektor über den sinus ausrechnen, und [mm] $\vec [/mm] d$ anschließend einfach durch eine Drehmatrix jagen. Die zweite Tangente ergibt sich durch Drehung in die andere Richtung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Do 20.07.2006 | | Autor: | riwe |
hallo, wenn du die koordinaten ein bißerl klüger, geeigneter wählst, geht es einfach: [mm] K_1(0/0/r_1) [/mm] und [mm] K_2(m/0/r_2): [/mm] dann ist die gerade [mm] t_1 [/mm] durch die beiden punkte [mm] S(-\frac{r_1m}{r_2-r_1}/0) [/mm] und [mm] S_1(-\frac{r_1(r_2-r_1)}{m}/y_{S_1}) [/mm] die/ eine der gesuchte(n) tangente(n). den punkt [mm] S_2 [/mm] zu berechnen, dürfte nun nicht allzu schwer sein und damit hast du die gesuchte länge deines dingsbums. warum das so ist, ersiehst du aus der skizze.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(m > [mm] r_1+r_2 [/mm] sei vorausgesetzt)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Fr 21.07.2006 | | Autor: | riwe |
nur der ordnung halber: [mm] r_2>=r_1.
[/mm]
und mit [mm] y_{S_1}=\frac{r_1}{m}\sqrt{m^{2}-(r_2-r_1)^{2}} [/mm] brauchst du auch die koordinaten von [mm] S_2 [/mm] nicht zu berechnen. die strecke [mm] S_1S_2 [/mm] bekommst du mit 2mal pythagoras zu [mm] S_1S_2= \sqrt{m^{2}-(r_2-r_1)^{2}} [/mm] und der winkel [mm] tan\alpha=w(M2,M1,S1)=-\frac{S_1S_2}{r_2-r_1}.
[/mm]
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