Tangenten bestimmen ohne Pkt. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich brauche dringend einen Ansatz zu dieser Aufgabe:
An welchen Stellen haben die Tangenten an den Graphen von f die Steigung m?
3x² + 2x
f(x)= --------------- ; m=2
x+1
Normaler weise benötigt man doch immer noch einen Punkt um die Tangentengleichung zu erstellen, oder? Wie ist das hier gedacht?
Setzt man viellecht einfach f'(x) = m und erhält somit die Schittpunkte?
Diese Aufgabe stammt aus dem Buch Analysis-Brandenburg (ISBN 3-464-57302-8)....hat jemand eine Idee wo man die Lösungen+Erklärungen zu einigen Übungen findet? Denn ich will euch Mathe Pros ja hier nicht ständig mit solch "einfachen" Aufgaben langweilen 
Danke für eure Antworten!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mike!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Setzt man viellecht einfach f'(x) = m und erhält somit die Schittpunkte?
Jein  Die Idee ist die richtige, denn: die erste Ableitung gibt dir ja, setzt du in sie einen Wert [mm] $x_0$ [/mm] ein, die Steigung der Tangente am Graphen im Punkte [mm] $(x_0|f(x_0))$. [/mm] Wenn diese Steigung nun vorgegeben ist und du Punkte auf dem Graphen suchen sollst, an denen die Tangente an diesen Punkten die gegebene Steigung hat, dann musst du umgekehrt rangehen. Du suchst in diesem Falle alle [mm] $x_0$, [/mm] für die die Ableitung gleich m ist. Und, da hattest du schon recht, dazu setzt du die Ableitung mit m gleich und löst nach x auf, was dir genau die Punkte liefert, an denen die Tangentensteigung gleich m ist.
Was meinst du mit Schnittpunkte?
Probier's nun mal und falls noch Fragen sind, dann los :)
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Mo 18.10.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Hallo!!Du brauchst keinen Punkt,da du die Tangente ja nicht bestimmen musst.Du musst nur angeben an welcher x-Stelle deines Grafen die Funktion die Steigung m hat!!!
Wie du weißt kann man die Steigung an jeder beliebigen Stelle deines Grafen bestimmen-so fern die Fubktion stetig ist.
m=f'_{x} !!!! MFG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Mike_LK12 |
ja, vielen dank euch!
Die Bezeichnung "Schnittpunkte" ist sicherlich von mir hier falsch angebracht worden, ich denke, dass "Berührpunkte" wohl korrekter ist.
Ich hab raus: Bt1[(- 2+ [mm] \wurzel{2}); \approx-0,34]
[/mm]
[mm] Bt2[(-2-\wurzel{2}); \approx-11,67]
[/mm]
wenn ihr die ergebnisse nicht überprüft, ist auch nicht soo schlimm.
danke nochmal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mike,
nun gut, dann schreibe ich mal eine kleine, kompakte Musterlösung zur Kontrolle!
(Naja, ich hoffe, du prüfst meine Lösung und findest deine(n) Fehler anhand davon! )
Es war [mm] $f(x)=\frac{3x²+2x}{x+1}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR\setminus\{-1\}$). [/mm]
Nach der Quotientenregel folgt:
[mm] $f'(x)=\frac{(6x+2)(x+1)-(3x²+2x)*1}{(x+1)^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $f'(x)=\frac{3x²+6x+2}{(x+1)^2}$
[/mm]
Es gilt also:
[mm] $f'(\bar{x})=2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\frac{3\bar{x}^2+6\bar{x}+2}{(\bar{x}+1)^2}=2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $3\bar{x}^2+6\bar{x}+2=2\bar{x}^2+4\bar{x}+2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\bar{x}^2+2\bar{x}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\bar{x}(\bar{x}+2)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\bar{x}=???$ [/mm] oder [mm] $\bar{x}=???$
[/mm]
Die $???$ möchte ich nun gerne von dir erfahren, denn das ist elementar!
(Es gibt ja zwei Werte für [mm] $\bar{x}$, [/mm] schreibe dann: [mm] $\bar{x}_1=...$, $\bar{x}_2=...$.)
[/mm]
Und, was erhältst du?
PS: Deine Ergebnisse sind leider falsch (du hattest, wenn ich deine letzte Mitteilung richtig interpretiere, [mm] $-2+\wurzel{2}$ [/mm] als $x$-Wert des einen Berührpunktes und [mm] $-2-\wurzel{2}$ [/mm] als $x$-Wert des anderen Berührpunktes berechnet (siehe https://matheraum.de/read?i=20030) . Leider hast du keine Rechnung mitgepostet, vielleicht hast du nur irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht???)
Und die gesuchten Stellen sind die obigen $x$-Werte, also [mm] $\bar{x}_1$ [/mm] bzw. [mm] $\bar{x}_2$; [/mm] mit anderen Worten die $x$-Werte der Berührpunkte der Tangenten mit Steigung $2$ an dem Graphen deiner Funktion!
Wenn du magst, kannst du auch die Berührpunkte angeben, das ist in der Aufgabe aber nicht explizit gefordert (ist aber trotzdem sinnvoll zur Übung )!
(Diese Punkte haben ja die Form:
[mm] $(\bar{x}_1;f(\bar{x}_1))$ [/mm] bzw. [mm] $(\bar{x}_2;f(\bar{x}_2))$)
[/mm]
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Mike_LK12 |
Ja, vielen dank für dein angebot, aber es war (zum glück *g*) kein großer fehler. ich hatte nur beim umformen ein "x" vergessen mit hin zu schreiben. *clever*
die lösungen sind x1=>2 und x2=>0
oder als Berührpunkte geschrieben Bt1(2;5 1/3) und Bt2(0;0)
*vorrausgesetzt ich hab mich nicht vertippt *
soooo, dann vielen dank nochmal !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mike,
> Ja, vielen dank für dein angebot, aber es war (zum glück
> *g*) kein großer fehler. ich hatte nur beim umformen ein
> "x" vergessen mit hin zu schreiben. *clever*
Schön, dass du deinen Fehler gefunden hast!
> die lösungen sind x1=>2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Denn: $x(x+2)=0$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$x=0$ oder $x+2=0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$x=0$ oder $x=$-$2$.
Du hast das - unterschlagen! Aber das ist ja keine große Sache, nur, falls dir das öfter passiert, darauf achten!
und x2=>0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder als Berührpunkte geschrieben Bt1(2;5 1/3)
, aber das ist ein Folgefehler deinerseits! Der Punkt [mm] $(2;f(2))=(2;\frac{16}{3})=(2;5\frac{1}{3})$ [/mm] gehört schon zum Graphen von $f$, nur das ist halt kein Berührpunkt deiner gesuchten Tangenten, weil du ein - unterschlagen hast!
und
> Bt2(0;0)
> *vorrausgesetzt ich hab mich nicht vertippt *
Okay. Ich denke, du bekommst das hin, diesen kleinen Vorzeichenfehler zu verbessern. Zur Kontrolle:
$(-2;f(-2))=(-2;-8)$ ist dann der 'richtige' Berührpunkt!
> soooo, dann vielen dank nochmal !!
Gern geschehen!
PS: Hier auch mal ein Bild deiner Funktion und der zwei gesuchten Tangenten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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