Tangenten einer Kurvenschar < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Pelle |
Hallo Leute, bin gestren fürchterlich verzweifelt, weil ich diese folgende Aufgabe nicht lösen konnte:
[mm] ft(x)=(x+t)/e^x [/mm]
Für welche Werte von t kann man von B(-2/0) an das Schaubild von ft zwei Tangenten legen?
Also, ich weiß inzwischen, wie die Kurvenschar aussieht und dass t auf jeden Fall kleiner 2 sein muss. Leider weiß ich nicht wie man eine Tangentengleichung aufstellt, wenn man nur einen Punkt weiß, wo sie durchgeht und nicht die Stelle an der sie die Kurve berührt. Ich hoffe, es kann mir da vielleicht einer weiterhelfen. würd mich riesig freuen. liebe Grüße Pelle
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo, Pelle
dann stelle doch erstmal die Tangentengleichung
[mm] $T_t(x,p)=...$ [/mm] für einen Kurvenpunkt [mm] $\vektor [/mm] { p [mm] \\ [/mm] f(p) }$
auf und
versuche dann [mm] $T_t(-2, [/mm] p) = 0$ nach p aufzulösen.
Dann sollte die Bedingung für t erkennbar werden
unter der die Gleichung 2 Lösungen hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Pelle |
Betrifft immernoch: [mm] ft(x)=(x+t)/e^x [/mm]
Erstmal tausend Dank für die schnelle Hilfe
Für welche Werte von t kann man von B(-2/0) an das Schaubild von ft zwei Tangenten legen?
Also, ich hab das jetzt so gemacht, hab auch was ganz schönes raus, nämlich p= ( [mm] \wurzel{t^2-8t+12}-t-2)/2 [/mm] und
p=- [mm] (\wurzel{t^2-8t+12}+t+2)/2
[/mm]
Das würde ja bedeuten für t=2 und Für t=6 gibt es eine Lösung, für die werte zwischen 2 und 6 keine Lösung und für t kleiner 2 und t größer 6 gibt es zwei Lösungen.
Das mit t kleiner 2 gefällt mir, das hatte ich ja vorher auch, aber t größer 6 macht keinen sinn, wenn man sich das schaubild anguckt. Heißt das jetzt, dass es für alle t kleiner 2 zwei tangenten gibt, auch wenn t -1000 oder noch kleiner ist ? Und was ist mit den Werten größer 6?
Liebe Grüße Pelle
|
|
|
| |
|
Hi Pelle,
Du scheinst große Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe zu haben. Deshalb werde ich dir jetzt den Weg erklären. Ich denke mal, daß für t = 0 die Behauptung, daß es 2 Tangenten für $f(x)$ gibt, erfüllt ist. Warum?
Zunächst einmal wissen wir, daß die Ableitung an einer Stelle zu einer beliebigen Funktion $f$ gleichzeitig die Tangentensteigung an dieser Stelle der Funktion ist. Damit:
[m]\begin{gathered}
t\left( x \right) = ax + b = f'\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right)x + b \hfill \\
f\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right) = t\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right) = f'\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right)x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} + b \Leftrightarrow b = f\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right) - f'\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right)x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} \hfill \\
\mathop \Rightarrow \limits^{{\text{Einsetzen in }}t\left( x \right)} t\left( x \right) = f'\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right)x + f\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right) - f'\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right)x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} \hfill \\
\mathop \Leftrightarrow \limits^{{\text{Ausklammern}}} t\left( x \right) = f'\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right)\left( {x - x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right) + f\left( {x_{{\text{Ber\"uhrpunkt}}} } \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Angenommen wir wüßten, wo unser Berührpunkt (wir nennen ihn jetzt k) mit f ist. Dann verwenden wir diese Tangentenform und setzen dort unser spezielles f ein. Dazu bilden wir erstmal die Ableitung bei k von f:
[mm] $f'\left( k \right) [/mm] = - [mm] e^{ - k} \left( {k + t - 1} \right)$
[/mm]
Dann lautet unsere Tangente t:
[m]t\left( x \right): = \left( { - e^{ - k} \left( {k + t - 1} \right)} \right)\left( {x - k} \right) + \frac{{k + t}}
{{e^k }}[/m]
Insbesondere wissen wir, daß die Tangente durch den Punkt B(-2|0) gehen soll:
[m]0 = \left( { - e^{ - k} \left( {k + t - 1} \right)} \right)\left( { - 2 - k} \right) + \frac{{k + t}}
{{e^k }}[/m]
Was passiert wenn Du diese Gleichung nach t umformst? Dann erhälst Du folgendes:
$t = - [mm] \frac{{k^2 + 2k - 2}}{{k + 3}}$
[/mm]
Da wir nur den Zähler betrachten, erhalten wir zwei Lösungen für k:
$k = - [mm] \sqrt [/mm] 3 - 1 [mm] \vee [/mm] k = [mm] \sqrt [/mm] 3 - 1$
Für diese beiden Lösungen ist t = 0. Wenn wir erst das eine und dann das andere k in die ursprüngliche Tangentengleichung einsetzen und t bei f und t(x) auf 0 setzen erhalten wir:
[m]\begin{gathered}
f\left( x \right): = \frac{x}
{{e^x }} \hfill \\
t_1 \left( x \right): = e^{\sqrt 3 + 1} \left( {x\left( {\sqrt 3 + 2} \right) + 2\sqrt 3 + 4} \right) \hfill \\
t_2 \left( x \right): = - e^{1 - \sqrt 3 } \left( {x\left( {\sqrt 3 - 2} \right) + 2\sqrt 3 - 4} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
So das war der Weg im Schnelldurchlauf. Hier sind noch ein Paar Bildchen, damit Du dir das Ganze auch wirklich vorstellen kannst:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mo 07.02.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Pelle,
> Betrifft immernoch: [mm]ft(x)=(x+t)/e^x[/mm]
> Erstmal tausend Dank für die schnelle Hilfe
> Für welche Werte von t kann man von B(-2/0) an das
> Schaubild von ft zwei Tangenten legen?
> Also, ich hab das jetzt so gemacht, hab auch was ganz
> schönes raus, nämlich p= ( [mm]\wurzel{t^2-8t+12}-t-2)/2[/mm] und
>
> p=- [mm](\wurzel{t^2-8t+12}+t+2)/2
[/mm]
> Das würde ja bedeuten für t=2 und Für t=6 gibt es eine
> Lösung, für die werte zwischen 2 und 6 keine Lösung und für
> t kleiner 2 und t größer 6 gibt es zwei Lösungen.
> Das mit t kleiner 2 gefällt mir, das hatte ich ja vorher
> auch, aber t größer 6 macht keinen sinn, wenn man sich das
> schaubild anguckt. Heißt das jetzt, dass es für alle t
> kleiner 2 zwei tangenten gibt, auch wenn t -1000 oder noch
> kleiner ist ? Und was ist mit den Werten größer 6?
geht alles !!
Ich hab's einfach mal zeichnen lassen. 
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 08.02.2005 | | Autor: | Pelle |
Vielen Dank an alle fleißigen Helfer. Ich denke ich habe jetzt eine ganz ordentliche Lösung!
|
|
|
| |
|
Hallo Pelle,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo Leute, bin gestren fürchterlich verzweifelt, weil ich
> diese folgende Aufgabe nicht lösen konnte:
[mm]f_t(x)=\bruch{x+t}{e^x}[/mm]
> Für welche Werte von t kann man von B(-2/0) an das
> Schaubild von [mm] f_t [/mm] zwei Tangenten legen?
> Also, ich weiß inzwischen, wie die Kurvenschar aussieht
> und dass t auf jeden Fall kleiner 2 sein muss. Leider weiß
> ich nicht wie man eine Tangentengleichung aufstellt, wenn
> man nur einen Punkt weiß, wo sie durchgeht und nicht die
> Stelle an der sie die Kurve berührt.
1. B darf kein Punkt auf dem Graphen sein, weil man ja "von dort aus" die Tangenten anlegen soll.
2. Die Steigung der Tangenten ist natürlich die Steigung der Funktion im Punkt [mm]P(u|f_t(u))[/mm].
Damit "kennst" du einen Punkt (B) und die Steigung der Geraden
[mm] \Rightarrow [/mm]  Punkt-Steigungsform der Geradengleichung.
Schau dort mal nach, denn du die genaue Form lesen willst.
Kommst du jetzt alleine weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Pelle |
Erstmal vielen dank für die schnelle Hilfe, ich denke ich werd das jetzt soweit allein hinkriegen.
|
|
|
|
