Tangenten und Normalen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Di 27.02.2007 | | Autor: | JR87 |
| Aufgabe | a)Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale im Punkt (1/ -1) an das Schaubild der Funktion f (x) = x²-4x+2
b)Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale im Wendepunkt an das Schaubild der Funktion f (x) = x³+x+1
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Hallo,
das sind zwei der 10 Aufgaben die wir bearbeiten müssen, bei allen anderen sehe ich halbswegs durch aber hier hapert es. Ich weiss schonmal das Tangente und Normale senkrecht aufeinander stehen. Aber wie gehe ich jetzt bei den Aufgaben vor?
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Hallo JR87!
Weißt Du denn, wie man eine Tangente in einem vorgegebenen Punkt bestimmt?
Das mit der Normalen funktioniert genauso. Denn aus der Steigung der Tangenten [mm] $m_t$ [/mm] lässt sich die Steigung der Normalen [mm] $m_n$ [/mm] nach folgender Beziehung ermitteln (schließlich stehen diese beiden Geraden - wie Du schon selber bemerkt hast - senkrecht aufeinander):
[mm] $m_t*m_n [/mm] \ = \ -1$ [mm] $\gdw$ $m_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{m_t}$
[/mm]
Also folgende Vorgehensweise:
- Bestimmung der Steigung [mm] $m_t$ [/mm] im gegebenen Punkt über die 1. Ableitung der Funktion: [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_P)$
[/mm]
- Bestimmung der Tangente über die Punkt-Steigungs-Form:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-f(x_P)}{x-x_P}$
[/mm]
- Ermittlung der Steigung der Normalen [mm] $m_n$ [/mm] gemäß obiger Formel
- Bestimmung der Normalen wiederum über die Punkt-Steigungs-Form:
[mm] $m_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-f(x_P)}{x-x_P}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:15 Di 27.02.2007 | | Autor: | JR87 |
Kannst du mir das auch mal konkret an einem Beispiel erklären?? Ich weiss nämlich jetzt nicht so richtig wie ich das auch meine Aufgabe übertrage
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Di 27.02.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo JR87!
Ich habe Dir oben ein ziemlich genaues "Kochrezept" geliefert. Versuch' dich doch mal daran und poste Deine Ergebnisse. Dann können wir das gemeinsam weiter besprechen ...
Wie man die ableitung der genannten Funktionen bestimmt, weißt Du doch bestimmt, oder? Dann den genannten Wert einsetzen etc.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 03.03.2007 | | Autor: | JR87 |
Gut... ich hab dann aber noch eine Frage.
Also ich bilde die erste Ableitung von f(x) = x²-4x+2.
Das wäre dann f'(x) = 2x-4
So jetzt benutze ich die Punkt- Steigungsform. Aber diese versteh ich nicht so richtig wäre es so richtig
[mm] \bruch{-1-2x-4}{1+x²-4x+2}
[/mm]
?? Ist das richtig so
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Hallo JR87!
> Also ich bilde die erste Ableitung von f(x) = x²-4x+2.
> Das wäre dann f'(x) = 2x-4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun setze doch erst einmal den Wert $x \ = \ 1$ gemäß Aufgabenstellung ein. Damit erhältst Du dann konkrete Werte für $f'(1)_$ bzw. $f(1)_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 03.03.2007 | | Autor: | JR87 |
also für f'(-1) bekomme ich -6 und für f(-1) bekomme ich 7 heraus. Wie geht ich jetzt weiter vor?
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Hallo JR87!
Ups, da habe ich mich oben vertippt. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Du musst natürlich [mm] $f'(\red{+}1)$ [/mm] und [mm] $f(\red{+}1)$ [/mm] berechnen.
Diese Werte setzt Du nun mit $x \ = \ 1$ in die bereits mehrfach erwähnte Punkt-Steigungs-Form ein.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 03.03.2007 | | Autor: | JR87 |
Also ich bekomme da für f'(1) = - 2 und für f(1)= -1 heraus.
Das setzte ich jetzt in die P-S Form ein. Aber wie gesagt da verstehe ich nicht so recht , das was du geschrieben hast
[mm] \bruch{y - f(xp)}{x - xp}. [/mm] Was ist hierbei f(xp) und was ist xp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 03.03.2007 | | Autor: | JR87 |
Also wenn ich jetzt so rechnen würde wie ich vermutet haben... also [mm] \bruch{-1+2}{1+1} [/mm] würde ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] herausbekommen. Wenn ich das gleiche für die normale machen würde und das mal nehmen würde , würde ich doch aber keine Gleichung herausbekommen
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Hallo JR87!
Rechne ich Dir das mal für die Tangente der 1. Aufgabe vor ...
[mm] $x_p [/mm] \ = \ x \ = \ 1$
[mm] $f(x_p) [/mm] \ = \ f(1) \ = \ -1$
[mm] $f'(x_p) [/mm] \ = \ [mm] m_t [/mm] \ = \ -2$
Eingesetzt in die Punkt-Steigungs-Form ergibt sich:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ -2 \ = \ [mm] \bruch{y-f(x_p)}{x-x_p} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-(-1)}{x-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y+1}{x-1}$
[/mm]
Umgeformt ergibt sich dann: $y \ = \ -2*(x-2)-1 \ = \ -2x+1$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo JR87!
In diesem Falle ist unser [mm] $x_p$ [/mm] der x-Wert des betrachteten Punktes; also: [mm] $x_p [/mm] \ =\ x \ = \ 1$ .
Und damit gilt auch: [mm] $f(x_p) [/mm] \ = \ f(1) \ = \ -1$
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:37 Sa 03.03.2007 | | Autor: | JR87 |
also ich habe jetzt für die Tangente y=-2x+1 und für die Normale y=0,5x-1,5. Das sollte stimmen
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