Tangenten von Kurven < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 05.01.2012 | | Autor: | joas84 |
| Aufgabe | Die Polarkoordinaten (r, φ) eines Punktes in der Ebene sind definiert durch: r = Abstand des Punktes vom Ursprung = x2 + y2
φ = Winkel des Ortsvektors des Punktes mit der positiven x−Achse
Die kartesischen Koordinaten(x, y) k o ̈nnen mit den Polarkoordinaten wie folgt bestimmt werden.
x = rcosφ
y = r sin φ
Stellen Sie die in Polarkoordinaten gegebenen Kurven graphisch dar.
a) r=cosφ b) r=(cosφ)2 c) r=(cosφ)3 |
Hallo
Ich muss dabei die horizontalen und die vertikalen Tangenten bestimmen.
ich habe das Problem zuerst in folgende Darstellung gebracht:
[mm] r(φ)=\vektor{cos^2(φ) \\ cos(φ)*sin(φ)}
[/mm]
Dann habe ich die Ableitung von r(φ) gebildet:
[mm] r(φ)=\vektor{-2*sin(φ)*cos(φ) \\ 2*cos^2(φ)-1} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
Meines Erachtens erhalte ich mit
-2*sin(φ)*cos(φ) =0 die vertiaklen Tangenten
und mit
[mm] 2*cos^2(φ)-1=0 [/mm] die horizontalen Tangenten
Ich muss aber doch noch was mit dem Quotient von [mm] \bruch{y'}{x'} [/mm] machen.
Nun zu meiner Frage wie bestimme ich genau die horizontalen und vertikalen Tangenten.
und was bedeutet der Quotient [mm] \bruch{y'}{x'} [/mm] bzw. in welchem Zusammenhang hängt der?
Besten Dank für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo joas84,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Polarkoordinaten (r, φ) eines Punktes in der Ebene
> sind definiert durch: r = Abstand des Punktes vom Ursprung
> = x2 + y2
> φ = Winkel des Ortsvektors des Punktes mit der positiven
> x−Achse
> Die kartesischen Koordinaten(x, y) k o ̈nnen mit den
> Polarkoordinaten wie folgt bestimmt werden.
> x = rcosφ
> y = r sin φ
> Stellen Sie die in Polarkoordinaten gegebenen Kurven
> graphisch dar.
> a) r=cosφ b) r=(cosφ)2 c) r=(cosφ)3
> Hallo
>
> Ich muss dabei die horizontalen und die vertikalen
> Tangenten bestimmen.
> ich habe das Problem zuerst in folgende Darstellung
> gebracht:
>
> [mm]r(φ)=\vektor{cos^2(φ) \\ cos(φ)*sin(φ)}[/mm]
>
> Dann habe ich die Ableitung von r(φ) gebildet:
>
> [mm]r(φ)=\vektor{-2*sin(φ)*cos(φ) \\ 2*cos^2(φ)-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> Meines Erachtens erhalte ich mit
>
> -2*sin(φ)*cos(φ) =0 die vertiaklen Tangenten
>
> und mit
>
> [mm]2*cos^2(φ)-1=0[/mm] die horizontalen Tangenten
>
Das ist auch richtig.
> Ich muss aber doch noch was mit dem Quotient von
> [mm]\bruch{y'}{x'}[/mm] machen.
>
> Nun zu meiner Frage wie bestimme ich genau die horizontalen
> und vertikalen Tangenten.
> und was bedeutet der Quotient [mm]\bruch{y'}{x'}[/mm] bzw. in
> welchem Zusammenhang hängt der?
>
Dieser Ausdruck drückt die Steigung der Kurve an der Stelle x in Polarkoordinaten aus.
Das wird übrigens so geschrieben:
[mm]y'\left(x\right)=\bruch{\dot{y}\left(\varphi\right)}{\dot{x}\left(\varphi\right)}[/mm]
wobei die Kurve in der Form
[mm]\pmat{x\left(\varphi\right) \\ y\left(\varphi\right)}[/mm]
gegeben ist.
Für die horizontalen Tangenten muss gelten: [mm]\dot{x}\left(\varphi\right)=0, \ \dot{y}\left(\varphi\right) \not=0 [/mm]
Für die veriktalen Tangenten muss gelten: [mm]\dot{y}\left(\varphi\right)=0, \ \dot{x}\left(\varphi\right) \not=0 [/mm]
> Besten Dank für eure Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Do 05.01.2012 | | Autor: | joas84 |
>
> Dieser Ausdruck drückt die Steigung der Kurve an der
> Stelle x in Polarkoordinaten aus.
>
Ist den die Steigung nicht einfach 0 bei der horizontalen Tangenten und unendlich bei der vertikalen.
oder bring ich das was durcheinander?
Für die horizontale bekomme ich dann [mm] \phi=\pi [/mm] und [mm] \phi=\bruch{-\pi}{2}
[/mm]
kann dies sein? muss ich die Lösung noch umrechnen (polar-kartesisch) oder so?
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Hallo joas84,
> >
> > Dieser Ausdruck drückt die Steigung der Kurve an der
> > Stelle x in Polarkoordinaten aus.
> >
> Ist den die Steigung nicht einfach 0 bei der horizontalen
> Tangenten und unendlich bei der vertikalen.
> oder bring ich das was durcheinander?
>
Nein, da bringst Du nichts durcheinander.
> Für die horizontale bekomme ich dann [mm]\phi=\pi[/mm] und
> [mm]\phi=\bruch{-\pi}{2}[/mm]
>
> kann dies sein? muss ich die Lösung noch umrechnen
Das kann ich erst beurteilen,
wenn ich die Teilaufgabe dazu weiss.
> (polar-kartesisch) oder so?
Ich denke, daß die Lösung so stehen gelassen werden kann.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Do 05.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
fu hattest doch $ [mm] 2\cdot{}cos^2(\φ)-1=0 [/mm] $ die horizontalen Tangenten
wie kommst du da auf [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi/2?
[/mm]
ob du das noch kartesisch hinschreiben sollst musst du wisse, ist aber im zweifelsfall sicher nicht falsch.
da du aus a) ja die Skizze hast kannst du doch selbst dein ergebnis leicht ünetptüfen und feststellen, dass es falsch ist?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Do 05.01.2012 | | Autor: | joas84 |
Ich habe glaube etwas durcheinander gebracht
ist dies das richtige Vorgehen:
zuerst werden die Achsenschnittpunkte bestimmt mit x()=0 und y()=0
dann werden diese untersucht ob die Steigung da horizontal und vertikal oder wenn weder noch
kommt der Quotient mit den Ableitungen zum Einsatz.
Falls ja ist mit immer noch nicht klar wie bestimmt werden kann ob horizontal oder vertikal?
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Hallo joas84,
> Ich habe glaube etwas durcheinander gebracht
> ist dies das richtige Vorgehen:
>
>
> zuerst werden die Achsenschnittpunkte bestimmt mit x()=0
> und y()=0
>
> dann werden diese untersucht ob die Steigung da horizontal
> und vertikal oder wenn weder noch
> kommt der Quotient mit den Ableitungen zum Einsatz.
>
> Falls ja ist mit immer noch nicht klar wie bestimmt werden
> kann ob horizontal oder vertikal?
Nein, das ist das richtige Vorgehen.
Im Fall der horizontalen Tangenten ermittelst Du
zunächst alle [mm]\varphi[/mm], die die Gleichung [mm]\dot{x}\left(\varphi\right)=0[/mm] erfüllen.
Dann überprüfst Du ob an diesen Stellen [mm]\dot{y}\left(\varphi\right) \not=0[/mm] ist.
Für die vertikalen Tangenten geht das analog.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Fr 06.01.2012 | | Autor: | joas84 |
Ersten möchte ich euch für eure Hilfe danken!!!
Ich habe nun noch einmal eine Lösung erarbeitet, die meines Erachtens richtig ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe aber x'(phi)=0 für die vertikale verwendet. stimmt dies?
denn ich habe gemerkt, dass ich dies in meinem ersten post auch so vorgeschlagen habe und dann aber in den
Antworten unterschiedliche Angaben gemacht werden
ich habe aber für meine Lösung den Quotient mit den Ableitungen gar nicht gebraucht?
ist es richtig, dass ich diesen nur brauche wenn ich in einem belieben Punkt ( wo also die Steigung nicht gerade
0 oder unendliche) brauche?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
einen Anhang seh ich nicht. hast du denn die Kurve als Kreis um (0,1) mit Radius 1 erkannt?
du musst nur x'=0 für die vertikale, y'=0 für die horizontale Tangente setzen.
Den Quotienten braucht man auch nicht, nur falls beide Ableitungen am selben punkt 0 würden, ist es nützlich an ihn zu denken.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Fr 06.01.2012 | | Autor: | joas84 |
Anhang sollte nun da sein (siehe post oben)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Bitte stell kleinere Bilder ein! und richtigrum! Nochmal les ich sowas nicht mit schrgäem Kopf und endlos scrollen!
2. alles richtig
3. hast du die kurve raus?
Gruss leduart
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