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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Lijana |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=-0,5x^4+8x³+4
[/mm]
Gib eine exakte Gleichung der tangente t an, die f in genau zwei Punkten berührt, ohne die Funktion irgendwo zu schneiden. Lässt sich daraus ein allgemeingültiger Algorithmus ableiten?
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Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen weis nicht mal wie ich anfangen muss. Wäre lieb.. danke schon mal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=-0,5x^4+8x³+4[/mm]
> Gib eine exakte Gleichung der tangente t an, die f in
> genau zwei Punkten berührt, ohne die Funktion irgendwo zu
> schneiden. Lässt sich daraus ein allgemeingültiger
> Algorithmus ableiten?
>
>
> Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen weis nicht mal
> wie ich anfangen muss. Wäre lieb.. danke schon mal im
> voraus
Also, Ansätze wären, dass eine Tangente doch folgende Funktionsgleichung hat (da sie eine lineare Funktion ist): t(x)=mx+b. Wenn sie die Funktion berührt, dann hat sie mit der Funktion zwei Funktionswerte gleich, also muss es [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] geben, so dass [mm] f(x_1)=t(x_1) [/mm] und [mm] f(x_2)=t(x_2) [/mm] gilt. Und da die Tangente die Funktion nicht schneiden sondern nur berühren darf, muss an diesen zwei Stellen zusätzlich noch gelten: [mm] f'(x_1)=t'(x_1)=m [/mm] und [mm] f'(x_2)=t'(x_2)=m.
[/mm]
Kommst du nun ein bisschen weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Do 04.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Moin,
ich weiss immer noch nicht, wie man auf die tangentengleichung kommt. |
klar ist,
y=mx + b
muss also sowohl b alsauch m bestimmen.
f'(x) = [mm] -2x^3 [/mm] + [mm] 24x^2
[/mm]
m = f'(x)
m = [mm] -2x^3 [/mm] + [mm] 24x^2
[/mm]
speziell: f'(x1)=f'(x2)=m
an den Berührpunkten gilt
f(x)=y
ich könnte für x1 und x2 folgende gleichungen aufstellen
[mm] -0,5*(x1)^4 [/mm] + [mm] 8*(x1)^3 [/mm] + 4 = [mm] (-2*(x1)^3 [/mm] + [mm] 24*(x1)^2) [/mm] *x1 + b
[mm] -0,5*(x2)^4 [/mm] + [mm] 8*(x2)^3 [/mm] + 4 = [mm] (-2*(x2)^3 [/mm] + [mm] 24*(x2)^2) [/mm] *x2 + b
dann habe ich immernoch eine unbekannte zu viel; oder zuwenig.
Fragezeichen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Do 04.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hase
Die Aufgabe ist nicht ganz einfach.
1. gleichung der Tangente im Punkt x=u:
t(x)=f(u)+f'(u)*(x-u) Die Form solltest du dir unbedingt klar machen (Punkt-Steigungsform einer Geraden), weil man sie bei vielen Aufgaben braucht! und nicht immer neu mit mx+b bestimmen will!
Die Tangente in u schneidet die Kurve i.A. an 2 weiteren Stellen. x1 und x2.
wenn du also die Schnittpunkte von t(x) mit f(x) berechnest hast du insgesamt 3 Schnittstellen, die bei u ist doppelt (weil Tangente) also musst du t(x)=f(x) setzen und u so bestimmen, dass es keine 2 Lösungen x1 und x2 (ausser u) gibt.
aus t(x)=f(x) folgt eine Gleichung 4. Grades, von der du aber zum Glück schon die doppelte Lösung x=u kennst. Also musst du das Polynom durch (x-u){2} dividieren. bleibt eine quadratische Gl. fur x mit dem Parameter u. Diese lösen, und feststellen, wann die 2 Lösungen zusammenfallen. Dann hast du das gesuchte u.
Ziemlich lange, aber immer geradeaus!
Lies genau durch und machs Schritt für Schritt.
(Wenn ihr Taylorpolynome hattet, gibts ne Abkürzung, dann schreib noch mal)
Und da das Ganze am Anfang für alle polynome 4. Grades gleich läuft kannst du das auch nen Algorithmus nennen, wenn du lange genug f stehen lässt, und erst möglichst spät dein spezielles f einsetzt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Fr 05.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin leduart, guten tag zusammen,
habe noch nie mit der punktsteigungsform gearbeitet, lerne aber gerne was neues hinzu. komme leider aber nicht weiter.
was habe ich:
die funktion: f(x) = -0,5 [mm] x^4 [/mm] + 8 [mm] x^3 [/mm] + 4
=> f(u) = -0,5 [mm] u^4 [/mm] + 8 [mm] u^3 [/mm] + 4
f'(x) = -2 [mm] x^3 [/mm] + 24 [mm] x^2 [/mm]
=> f'(u) = -2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2
[/mm]
die tangente in punktsteigungsform: t(x) = f(u) + f'(u)*(x-u)
t(x) = -0,5 [mm] u^4 [/mm] + 8 [mm] u^3 [/mm] + 4 + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2)*(x-u)
[/mm]
berechnung der schnittpunkte, d.h. f(x)=t(x)
-0,5 [mm] x^4 [/mm] + 8 [mm] x^3 [/mm] + 4 = -0,5 [mm] u^4 [/mm] + 8 [mm] u^3 [/mm] + 4 + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2)*(x-u)
[/mm]
-0,5 [mm] x^4 [/mm] -0,5 [mm] u^4 [/mm] + 8 [mm] x^3 [/mm] - 8 [mm] u^3 [/mm] = (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2)*(x-u)
[/mm]
und da verliessen sie ihn.
ich kriege kein einfaches ergebnis bei der polynomdivision?!
gruss
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Fr 05.05.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
ich will ja kein Spielverderber sein, aber habt Ihr Euch diese Funktion mal aufgemalt, mit Tangente?
Meiner Meinung nach hat das keine Lösung. Die Funtkion ist streng monoton steigend.
Das Problem hätte nur eine Lösung, wenn es zwei lokale Maxima gäbe und die Funktion für +- unendlich gegen - unendlich geht oder umgekehrt.
Ich denke, dass es sich um einen Tippfehler handelt und es eigentlich [mm] -0,5*x^4 [/mm] + [mm] 8*x^2 [/mm] (nicht ^3) +4 handeln muss.
Dann ist die Lösung einfach die Tangente, die an den beiden Maxima anliegt.
Viele Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Sa 06.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
Guten Tag,
als ich mir die Aufgabe angeschaut habe, hatte ich auch die Idee, dass es sich mglw. um eine Gerade handelt, die die Funktion in zwei Extrempunkten berührt...
kann jemand die Lösung von Andreas bestätigen?
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Ne, kann ich nicht, da die Funktion auf keinen Fall streng monoton steigend ist, sie besitzt ein lokales Maximum bei x = 12
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Sa 06.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
einen HP bei 12/3460 habe ich auch raus... Meine Frage ist also weiter offen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 06.05.2006 | | Autor: | goeba |
Ok,
ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil.
Trotzdem, doofe Zahlen sind das.
Gruß,
Andreas
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Hallo, alle miteinander!
Genügt euch eine Graphik zur Veranschaulichung? Da kann man erkennen, dass es genau eine solche Tangente geben muss!
Leduarts Lösungsvorschlag werde ich mal ausprobieren...
Viele Grüße,
zerbinetta
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Graph von f
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Sa 06.05.2006 | | Autor: | zerbinetta |
Hallo, da bin ich wieder...
Leduarts Weg kann man ganz wunderbar nachvollziehen!
Also, wie schon von leduart beschrieben, stellt man allgemein die Gleichung der Tangente t an f in einem beliebigem Punkt u auf. Dann bestimmt man die Schnittpunkte von t und f, indem man den Ansatz f(x)=t(x) wählt.
Das führt auf eine (nicht gerade einfache) Gleichung 4. Grades. Man formt sie auf um auf 0= irgendwas [mm] x^4+ [/mm] usw...
Da nach Voraussetzung bei x=u die Tangente den Graphen nicht schneidet sondern nur berührt, ist der Faktor (x-u) in dem Term auf der rechten Seite der Gleichung doppelt enthalten. Man kann also eine Polynomdivision durchführen.
Übrig bleibt eine Gleichung zweiten Grades, die aber logischerweise noch immer u enthält. Löst man diese z.B. mit pq-Formel nach x auf, dann erhält man zwei Lösungen für x.
Da man aber diejenige Tangente sucht, die den Graphen nur in einem weiteren Punkt berührt, muss man u so bestimmen, dass es nur EINE Lösung für x gibt.
Man muss also die Diskriminante (den Term unter der Wurzel) gleich Null setzen.
Das ist dann übrigens auch wieder eine quadratische Gleichung, dieses Mal mit der einen Variable u. Denn für u erhält man logischerweise zwei verschiedene Werte, da die Tangente ja f an genau zwei Stellen berührt. Das heißt beide Lösungen von u führen auf die gleiche Tangentengleichung.
Übrigens ist [mm] u=4 \pm 4 \wurzel{3} [/mm]
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Sa 06.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
danke für die lösungshinweise, leider ist meine frage immer noch nicht beantwortet. ich traue mir schon zu, wenn ich die polynomdivision erst gemacht habe, eine quadratische gleichung zu ermitteln und dann die pq-formale anzuwenden usw. nur. ich komme nicht auf ein schlüssiges ergebnis bei der polynomdivision - bzw. habe die zutaten vielleicht nicht richtig zusammengemixt. also nochmal mein teilergebnis:
habe noch nie mit der punktsteigungsform gearbeitet, lerne aber gerne was neues hinzu. komme leider aber nicht weiter.
was habe ich:
die funktion: f(x) = -0,5 [mm] x^4 [/mm] + 8 [mm] x^3 [/mm] + 4
=> f(u) = -0,5 [mm] u^4 [/mm] + 8 [mm] u^3 [/mm] + 4
f'(x) = -2 [mm] x^3 [/mm] + 24 [mm] x^2 [/mm]
=> f'(u) = -2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2 [/mm]
die tangente in punktsteigungsform: t(x) = f(u) + f'(u)*(x-u)
t(x) = -0,5 [mm] u^4 [/mm] + 8 [mm] u^3 [/mm] + 4 + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] *(x-u)
berechnung der schnittpunkte, d.h. f(x)=t(x)
-0,5 [mm] x^4 [/mm] + 8 [mm] x^3 [/mm] + 4 = -0,5 [mm] u^4 [/mm] + 8 [mm] u^3 [/mm] + 4 + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2)*(x-u) [/mm]
den faktor (x-u) sehe ich im moment nur enmal auf der rechten seite; aber damit könnte man schon mal die erste polynomdivision machen... nur wie?
ich kriege kein schlüssiges ergebnis bei der polynomdivision?!
wo ist der knackpunkt?
-0,5 [mm] x^4 [/mm] + 8 [mm] x^3 [/mm] + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] x + 0,5 [mm] u^4 [/mm] - 8 [mm] u^3 [/mm] + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] u = 0
-0,5 [mm] x^4 [/mm] + 8 [mm] x^3 [/mm] + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] x + 0,5 [mm] u^4 [/mm] - 8 [mm] u^3 [/mm] + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] u : (x-u) = -0,5 [mm] x^3 [/mm] + (8-0,5u) [mm] x^2 [/mm] + (2 [mm] u^3 [/mm] - 24 [mm] u^2) [/mm] x
- (-0,5 [mm] x^4 [/mm] + 0,5 u [mm] x^3) [/mm]
------------------------------
(8-0,5 u) [mm] x^3
[/mm]
- ((8-0,5 u) [mm] x^3 [/mm] - (8-0,5 u) u)
-------------------------------------
+ 8u + 0,5 [mm] u^2
[/mm]
.... (2 [mm] u^3 [/mm] - 24 [mm] u^2) [/mm] x
-((2 [mm] u^3 [/mm] - 24 [mm] u^2) [/mm] x - (2 [mm] u^3 [/mm] - 24 [mm] u^2) [/mm] u))
----------------------------------------------------------
+ 2 [mm] u^4 [/mm] - 24 [mm] u^3
[/mm]
aber es bleibt trotzdem ein rest!
gruss
wolfgang
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Hallo,
ich glaube hier:
> -0,5 [mm]x^4[/mm] + 8 [mm]x^3[/mm] + (-2 [mm]u^3[/mm] + 24 [mm]u^2)[/mm] x + 0,5 [mm]u^4[/mm] - 8 [mm]u^3[/mm] +
> (-2 [mm]u^3[/mm] + 24 [mm]u^2)[/mm] u = 0
Es muss auf der linken Seite [mm] -(-2u^3+24u^2)x [/mm] heißen.
Ich weiß nicht, ob noch mehr dabei ist, aber das ist mir jedenfalls aufgefallen.
(Ich bin ein bisschen rechenfaul - solche Sachen lasse ich meistens von Derive lösen...)
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 07.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
das stimmt allerdings, trotzdem bleibt ein rest --> ???
(-0,5 [mm] x^4 [/mm] + 8 [mm] x^3 [/mm] - (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] x + 0,5 [mm] u^4 [/mm] - 89 [mm] u^3 [/mm] + (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] u ) : (x-u) = -0,5 [mm] x^3 [/mm] + (8-0,5u) [mm] x^2 [/mm] - (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm]
- [-0,5 [mm] x^4 [/mm] + 0,5u [mm] x^3]
[/mm]
------------------------------
(8 - 0,5 u) [mm] x^3
[/mm]
- [(8-0,5 u) [mm] x^3 [/mm] - (8-0,5 u) u]
--------------------------------------
+ (8-0,5 u) u
-(-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] x
- [-(-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] x + (-2 [mm] u^3 [/mm] +24 [mm] u^2) [/mm] u]
-----------------------------------------------------------
- (-2 [mm] u^3 [/mm] + 24 [mm] u^2) [/mm] u
verbleibt als Rest: 0,5 [mm] u^4 [/mm] - 8 [mm] u^3 [/mm] -0,5 [mm] u^2 [/mm] + 8 u
und nun?
gruss
wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 So 07.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Du hast im 2. schritt beim Multiplizieren [mm] $(x-u)*\left[(8-0.5u)*x^2\right]$ [/mm] das [mm] $x^2$ [/mm] unterschlagen:
> (-0,5 [mm]x^4[/mm] + 8 [mm]x^3[/mm] - (-2 [mm]u^3[/mm] + 24 [mm]u^2)[/mm] x + 0,5 [mm]u^4[/mm] - 89 [mm]u^3[/mm]
> + (-2 [mm]u^3[/mm] + 24 [mm]u^2)[/mm] u ) : (x-u) = -0,5 [mm]x^3[/mm] + (8-0,5u) [mm]x^2[/mm]
> - (-2 [mm]u^3[/mm] + 24 [mm]u^2)[/mm]
>
> - [-0,5 [mm]x^4[/mm] + 0,5u [mm]x^3][/mm]
> ------------------------------
> (8 - 0,5 u) [mm]x^3[/mm]
> - [(8-0,5 u) [mm]x^3[/mm] - (8-0,5 u) u [mm] $*\red{x^2}$ [/mm] ]
> --------------------------------------
> + (8-0,5 u) u [mm] $*\red{x^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 07.05.2006 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Hase
Die Polynomdivision ist wirklich blöd! aber da du schon einen Faktor (x-u) hattest (bei f'(u)) wäre besser x^{4}-u^{4} und x^{3}-u^{3} zuerst auch noch (x-u) ausklammern. (x^{n}-u^{n} kann man IMMER durch x-u teilen!
Das Ergebnis dann nochmal durch x-u teilen.(zur Überprüfung: für x=u muss natürlich 0 rauskommen, sonst sollte man nicht durch x-u div.)
Es gibt allerdings nen einfacheren und schnelleren Weg: jedes Polynom 4. Grades kann man schreiben als:
TAYLOR: $ p(x)=p(u)+p'(u)*(x-u)+p''(u)/2!*(x-u)^2+p'''(u)/3!*{x-u)^3+p''''(u!4!)(x-u)^4$
Wenn man das einsetzt in p(x)=t(x) fällt alles unbequeme schon raus, und man kann direkt durch (x-u)^{2} kürzen.
Selbst, wenn du Taylor nicht kennst, kannst du die Formel finden ,wenn du schon Steckbriefaufgaben gelöst hast.
Stell dir einfach vor, Pol. 4. Grades, gegeben an der Stelle u Funktionswert und die ersten 4 Ableitungen an der Stelle u.
Zur Punkt-Steigungsform: auf jeder Geraden auf der der Punkt (x1,y1) liegt und die Steigung m ist:
\bruch{y-y1}{x-x1}=m daraus y=y1+m(x-x1)
Gruss leduart
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Graph von f