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Tangentengleichung bei e: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Sa 18.03.2006
Autor: cadesjoop

Aufgabe
gegeben ist [mm] f(x)=e^{0.5x} [/mm]
Vom Ursprung aus wird eine Tangente an den Graphen von f gelegt. Bestimme den Berührpunkt und die Tangentengleichung.

Wie muss ich denn da herangehen? Wir haben das im Unterricht noch nicht besprochen und ich weiß mit der Aufgabe nichts anzufangen. Wäre lieb wenn mir da jemand helfen könnte.

        
Bezug
Tangentengleichung bei e: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Sa 18.03.2006
Autor: Loddar

Hallo cadesjoop!


Die allgemeine Geradengleichung lautet: $g(x) \ = \ m*x+n$

Da die gesuchte Gerade durch den Ursprung verlaufen soll, verbleibt:

$g(x) \ = \ m*x$ (da ja gilt: $g(0) \ = \ m*0+n \ = \ n \ = \ 0$ )


Damit diese Gerade nun auch Tangente der Kurve ist, muss am Berührpunkt $B \ [mm] \left( \ x_b \ | \ y_b \ \right)$ [/mm] gelten (gleiche Steigung):

$m \ = \ [mm] f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}*x_b}$ [/mm]


Ebenso müssen an der Berührstelle [mm] $x_b$ [/mm] die Funktionswerte übereinstimmen:

[mm] $m*x_b [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{2}*x_b}$ [/mm]


Durch einsetzen von $m_$ in diese Gleichung kannst Du nun [mm] $x_b$ [/mm] ermitteln.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Tangentengleichung bei e: Nachfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:46 So 19.03.2006
Autor: cadesjoop

Danke für die schnelle Hilfe. Ich habe gestern noch daran herumgerechnet und so auch dank der Tipps die Tangentengleichung herausbekommen. Aber mit dem Berührpunkt tue ich mich noch schwer. Und zwar habe ich m in   [mm] m*x_b=e^{0.5x_b} [/mm] eingesetzt, dann mit ln multipliziert:
ln0.5*0.5x*ln xb= 0.5*xb
jetzt hab ich ja aber auf beiden seiten xb udn ich kann doch kein xb mit einem ln xb zusammenbringen.. zum Schluss kam bei mir dann folgendes raus:    2*ln 0.5*x= xb/ln xb
Meine Frage also: wie komme ich von xb/ln xb auf xb?


Bezug
                        
Bezug
Tangentengleichung bei e: Gleichung ohne Berührpunkt?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:59 So 19.03.2006
Autor: Loddar

Hallo cadesjoop!


Ich bin etwas erstaunt: ohne den Berührpunkt kannst Du doch gar nicht die Tangentengleichung ermitteln! [kopfkratz3]

Kannst Du bitte mal Deinen Rechenweg für die Tangentengleichung posten? (Und bitte verwende doch auch unseren Formeleditor).


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Tangentengleichung bei e: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:25 So 19.03.2006
Autor: cadesjoop

Ich glaube, dass ich mir das dann wohl zu einfach gemacht habe ;-)
ich dachte es reicht, wenn ich in die allg. Geradengleichung m einsetze. weil m doch an dem Berührpunkt gleich der Tangentensteigung ist. Also bin ich dann zu der Gleichung gekommen:
[mm] g(x)=\bruch{1}{2} \cdot [/mm] e^(1/2x) [mm] \cdot [/mm] x

Aber das mit dem Berührpunkt ist mir wie gesagt irgendwie noch nciht klar geworden.
(ich übe mit diesem Editor, aber noch wills nicht gelingen**)

Bezug
                                        
Bezug
Tangentengleichung bei e: siehe Antwort oben
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 So 19.03.2006
Autor: Loddar

Hallo cadesjoop!


Siehe doch mal meine Antwort oben. Da hatten wir doch:

$m \ = \ [mm] f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}*x_b}$ [/mm]

[mm] $m*x_b [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{2}*x_b}$ [/mm]


Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite liefert:

[mm] $\bruch{1}{2}*e^{\bruch{1}{2}*x_b}*x_b [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{2}*x_b}$ [/mm]


Und nun nach [mm] $x_b$ [/mm] auflösen ...

Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Tangentengleichung bei e: so richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 So 19.03.2006
Autor: cadesjoop

Oh ups, ich hab da den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Danke nochmal. Hab also jetzt nach [mm] x_{b} [/mm] aufgelöst---> [mm] x_{b}=2 [/mm]
Wenn ich jetzt [mm] x_{b} [/mm] und m in g(x)=m [mm] \cdot [/mm] x einsetze dann bekomme ich doch y heraus? Also in diesem Fall y=e udn damit B(2;e).. und wenn ich diesen punkt wiederum einsetze in g(x) erhalte ich die Tangentengleichung? Nur zur Absicherung..

Bezug
                                                        
Bezug
Tangentengleichung bei e: So richtig!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:51 So 19.03.2006
Autor: Loddar

Hallo cadesjoop!


[daumenhoch]


Gruß
Loddar


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