Tangentengleichung ermitteln < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:27 Sa 07.01.2006 | | Autor: | trollhorn |
| Aufgabe | Eine ganzrat. Funktion f hat eine 2. Ableitungsgleichung der Form
f"(x) = x - 1
Der Graph berührt die x - Achse in N(3/0).
b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f durch
die 1. Nullstelle der Funktion f |
Im ersten Aufgabenteil habe ich durch 2 maliges integrieren die
Funktion f bestimmt
f(x) = 1/6 [mm] x^3 [/mm] - [mm] 1/2x^2
[/mm]
Meine Frage lautet nun: Wie bestimme ich die Tangentengleichung anhand
der gegebenen Hinweise?
Hab' mal so angefangen:
t(x) = mx + b
t(3) = 0 => m*3 + b = 0
Weiter komm ich leider net *schnief*...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Eine ganzrat. Funktion f hat eine 2. Ableitungsgleichung
> der Form
>
> f"(x) = x - 1
>
> Der Graph berührt die x - Achse in N(3/0).
>
> b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den
> Graphen von f durch
> die 1. Nullstelle der Funktion f
Hallo Trollhorn.
> Im ersten Aufgabenteil habe ich durch 2 maliges
> integrieren die
> Funktion f bestimmt
>
> f(x) = [mm] 1/6^3- 1/2x^2
[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nur durch zweimaliges Integrieren muss die Funktion auch nicht wirklich die gesuchte sein. Denn es gibt unendlich viele Stammfunktionen, wodurch sich dann auch die Nullstellen verschieben!
Korrekterweise wäre die richtige Lösung also zumindest f(x) = 1/6 [mm]x^3[/mm] - [mm][mm] 1/2x^2 [/mm] +cx +d
Aber in diesem Fall stimmt es ja. Zumindest, wenn man den Text nur ungenau liest!
Es ist die Bedingung gegeben, dass "Der Graph berührt die x - Achse in N(3/0)." Das heißt, es liegt eine doppelte Nullstelle bei x=3 vor, was wiederum heißt, die Funktion f(x) hat bei x=3 eine Nullstelle und ein Extremum:
f(3)=0
f'(3)=0
> Meine Frage lautet nun: Wie bestimme ich die
> Tangentengleichung anhand
> der gegebenen Hinweise?
>
> Hab' mal so angefangen:
>
> t(x) = mx + b
>
> t(3) = 0 => m*3 + b = 0
>
> Weiter komm ich leider net *schnief*...
Naja, für die Tangente würde gelten:
y=mx+b
m = f'(der ersten Nullstelle) = Steigung an dieser Stelle x
Du hast nun also m und den Punkt der "Nullstelle"
[mm] \red{y}=mx+\red{b}
[/mm]
Das in rot markierte wäre dann wohl noch bekannt.
Kommst du nun alleine weiter?
Viele Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Sa 07.01.2006 | | Autor: | trollhorn |
Hab da gerade was ausgeknobelt:
Ausgehend von t(x) = mx + b
t(3) = 0 => m*3 + b = 0
Wendepunkt(e) bestimmen:
f"(x) = x - 1 => x = 1 W(1/0)
f'(1) = [mm] 1/2x^2 [/mm] - x => f'(1) = -1/2 => m = -1/2
M einsetzen in m*3 + b = 0 => b= 3/2
=> t(x) = -1/2x + 3/2
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Also: f"(x) = x - 1
f'(x) = [mm] 1/2x^2 [/mm] - x + c
f(x) = [mm] 1/6x^3 [/mm] - [mm] 1/2x^2 [/mm] + cx + d
doppelte Nullstelle in N(3/0) => f(3) = 0
f'(3) = 0
f'(3) = 0 => 1/2*9 - 3 + c = 0 => c= - 3/2
c in f(x) einsetzen => d = 9/2
=> f(x) = [mm] 1/6x^3 [/mm] - [mm] 1/2x^2 [/mm] - 3/2x + 9/2
Aufgabenteil 1 ( hoffentlich!! ) erledigt!? Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo trollhorn!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
Aufgabe a.) erledigt, auf zu b.) ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:10 Sa 07.01.2006 | | Autor: | trollhorn |
Zum Aufgabenteil 2 hab' ich mir folgendes überlegt:
y = mx + b
m = f'(3) => f'(3) = 9 => m = -9
=> y= -9x + b
ausserdem ist bekannt:
f(3) = 0
-9*3 + b = 0 => b = 27
=> y = -9x + 27 ( Gleichung der Tangente )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 07.01.2006 | | Autor: | trollhorn |
Bin jetzt mal gespannt, ob ich nun auch noch Teil B korrekt gelöst habe...
hab' ja kein so gutes Gefühl dabei...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo trollhorn!
Wie kommst Du denn auf die Steigung an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ =\ 3$ . Hier erhalte ich (schließlich handelt es sich um eine doppelte Nullstelle!) : $f'(3) \ = \ 0$ !
Zudem denke ich, dass Du die Tangente an der anderen Nullstelle (die noch zu bestimmen wäre) ermitteln sollst.
Gruß
Loddar
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