Tangentenproblem < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Di 09.08.2011 | | Autor: | xx2 |
Hallo an alle!
Ich sitze gerade an Mathehausaufgaben und komme nicht weiter, ich hoffe, ihr könnt mit helfen.
Ich habe die Funktionen
[mm] g(x)=\bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{1}{3}x^{2}-3x-3 [/mm] und
[mm] t(x)=-\bruch{1}{3}x+1 [/mm] gegeben.
Nun lautet die erste Aufgabe, rechnerisch zu zeigen, dass die Tangente am Graphen g an der Stelle x=-2 die Funktionsgleichung t(x) besitzt.
Meine Lösung wäre jetzt Folgende gewesen:
[mm] t(x)=(-\bruch{1}{3})*(-2)+1 [/mm] = [mm] 1\bruch{2}{3}
[/mm]
Aber damit habe ich ja eigentlich nur bewiesen, dass der Graph den Punkt P [mm] (-2|1\bruch{2}{3}) [/mm] besitzt, oder? Wie kann ich also die Aufgabe richtig lösen? Ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 09.08.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo an alle!
>
> Ich sitze gerade an Mathehausaufgaben und komme nicht
> weiter, ich hoffe, ihr könnt mit helfen.
> Ich habe die Funktionen
> [mm]g(x)=\bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{1}{3}x^{2}-3x-3[/mm] und
> [mm]t(x)=-\bruch{1}{3}x+1[/mm] gegeben.
Du meinst vermutlich [mm] $t(x)=-\frac{1}{3}x{\color{red}+7}$, [/mm] denn sonst stimmts nicht.
> Nun lautet die erste Aufgabe, rechnerisch zu zeigen, dass
> die Tangente am Graphen g an der Stelle x=-2 die
> Funktionsgleichung t(x) besitzt.
>
> Meine Lösung wäre jetzt Folgende gewesen:
> [mm]t(x)=(-\bruch{1}{3})*(-2)+1[/mm] = [mm]1\bruch{2}{3}[/mm]
> Aber damit habe ich ja eigentlich nur bewiesen, dass der
> Graph den Punkt P [mm](-2|1\bruch{2}{3})[/mm] besitzt, oder? Wie
Na ja, 'bewiesen' wäre ja fast ein bissschen übertrieben. Du hast den Funktionswert $t(-2)$ berechnet.
> kann ich also die Aufgabe richtig lösen? Ich stehe gerade
> ziemlich auf dem Schlauch.
Wie Du ja sicher weißt ist eine Geradengleichung (und eine Tangente ist eine Gerade) allgemein gegeben durch $f(x)=ax+b$. Es müssen also die zwei Konstanten a und b korrekt bestimmt werden. Überleg Dir mal welche Bedingung für beide Funktionen gelten müssen.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 09.08.2011 | | Autor: | xx2 |
Okay, danke schonmal!
> Wie Du ja sicher weißt ist eine Geradengleichung (und eine
> Tangente ist eine Gerade) allgemein gegeben durch
> [mm]f(x)=ax+b[/mm]. Es müssen also die zwei Konstanten a und b
> korrekt bestimmt werden. Überleg Dir mal welche Bedingung
> für beide Funktionen gelten müssen.
Hmm also durch meine Wertetabelle hat sich ergeben, dass die Tangente die y-Achse bei y=1 schneidet, also ist b=1.
Aber wie komme ich jetzt auf a?
Kann es sein, dass ich eine Ableitung bilden muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 09.08.2011 | | Autor: | notinX |
> Okay, danke schonmal!
>
> > Wie Du ja sicher weißt ist eine Geradengleichung (und eine
> > Tangente ist eine Gerade) allgemein gegeben durch
> > [mm]f(x)=ax+b[/mm]. Es müssen also die zwei Konstanten a und b
> > korrekt bestimmt werden. Überleg Dir mal welche Bedingung
> > für beide Funktionen gelten müssen.
>
> Hmm also durch meine Wertetabelle hat sich ergeben, dass
> die Tangente die y-Achse bei y=1 schneidet, also ist b=1.
> Aber wie komme ich jetzt auf a?
> Kann es sein, dass ich eine Ableitung bilden muss?
Du hast die Tangente doch schon gegeben und damit hast Du auch a und b schon. Das dient aber quasi nur der Kontrolle. Geh davon aus, dass Du $t(x)$ noch nicht kennst und verfahre so wie ich es Dir beschrieben habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Di 09.08.2011 | | Autor: | xx2 |
Gut, wenn ich davon ausgehen soll das ich t(x) nicht kenne, würde ich jetzt als Erstes die erste Ableitung von g bilden.
Das wäre ja dann [mm] g'(x)=x^{2}+\bruch{2}{3}x-3.
[/mm]
Wenn ich aber jetzt für x -2 einsetze, um die Steigung der Tangente in dem Punkt zu bestimmen, bekomme ich [mm] 8\bruch{1}{3} [/mm] raus.
Und was bringt mir das jetzt? Oder ist das ganz falsch? Eigentlich müsste da doch 0 rauskommen... Ich bin total verwirrt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Di 09.08.2011 | | Autor: | Dath |
Nein, bekommst du nicht. Rechne noch mal nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 09.08.2011 | | Autor: | xx2 |
Oh, okay, [mm] -\bruch{1}{3}. [/mm] Klammersetzung vergessen.
Und das ist jetzt die Steigung der Tangente in dem Punkt -2?
Also habe ich damit ja schon bewiesen, dass m= [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] ist.
Dann kann ich so weitermachen?:
[mm] g(-2)=\bruch{1}{3}*(-2)^{3}+\bruch{1}{3}*(-2)^{2}-3*(-2)-3=1\bruch{2}{3}
[/mm]
t(x)=ax+b
[mm] \Rightarrow 1\bruch{2}{3}=-\bruch{1}{3}*(-2)+b
[/mm]
[mm] 1\bruch{2}{3}=\bruch{2}{3}+b [/mm] | [mm] -\bruch{2}{3}
[/mm]
b=1
Also lautet die Tangentengleichung: [mm] t(x)=-\bruch{1}{3}x+1
[/mm]
Okay, danke!
Jetzt hab ich allerdings noch meine Schwierigkeiten mit dem b-Teil der Aufgabe.
Ich soll die gemeinsamen Punkte der Funktionen g und t bestimmen.
Wenn ich die Funktionen gleichsetze, bekomme ich am Ende [mm] \bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{1}{3}x^{2}-2\bruch{2}{3}x-4=0 [/mm] heraus.
Wenn ich dann allerdings die Polynomdivision versuche, geht sie bei mir nie auf. Habe ich irgendwas falsch gemacht? Muss ich es überhaupt mit der Polynomdivision lösen?
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Hallo, verabschiede dich zunächst von den Brüchen, multipliziere deine Gleichung mit 3:
[mm] x^{3}+x^{2}-8x-12=0
[/mm]
du kennst schon eine Schnittstelle: x=-2
[mm] (x^{3}+x^{2}-8x-12):(x+2)=
[/mm]
stelle mal deine Polynomdivision vor, wir finden den Fehler
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 09.08.2011 | | Autor: | xx2 |
Vielen Dank Steffi, mit deiner Hilfe hab ichs jetzt doch noch hinbekommen.
Mein Fehler war wohl, dass ich mich durch die Brüche hab durcheinanderbringen lassen. Aber jetzt ist es hoffentlich richtig, oder?:
[mm] (x^{3}+x^{2}-8x-12):(x+2)=x^{2}-x-6
[/mm]
[mm] -(x^{3}+2x^{2})
[/mm]
[mm] \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
[/mm]
[mm] -x^{2}-8x
[/mm]
[mm] -(-x^{2}-2x)
[/mm]
[mm] \ldots\ldots
[/mm]
-6x-12
-(-6x-12)
[mm] \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
[/mm]
0
(pq-Formel)
[mm] x_{1/2}=0,5\pm\wurzel{0,5^{2}+6}
[/mm]
[mm] =0,5\pm\wurzel{6,25}
[/mm]
[mm] =0,5\pm\2,5
[/mm]
[mm] x_{1}=3
[/mm]
[mm] x_{2}=-2
[/mm]
Und jetzt eben nur noch die y-Werte bestimmen.
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Hallo xx2,
> Vielen Dank Steffi, mit deiner Hilfe hab ichs jetzt doch
> noch hinbekommen.
> Mein Fehler war wohl, dass ich mich durch die Brüche hab
> durcheinanderbringen lassen. Aber jetzt ist es hoffentlich
> richtig, oder?:
>
> [mm](x^{3}+x^{2}-8x-12):(x+2)=x^{2}-x-6[/mm]
> [mm]-(x^{3}+2x^{2})[/mm]
> [mm]\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots[/mm]
> [mm]-x^{2}-8x[/mm]
> [mm]-(-x^{2}-2x)[/mm]
> [mm]\ldots\ldots[/mm]
> -6x-12
> -(-6x-12)
> [mm]\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots[/mm]
> 0
>
> (pq-Formel)
>
> [mm]x_{1/2}=0,5\pm\wurzel{0,5^{2}+6}[/mm]
> [mm]=0,5\pm\wurzel{6,25}[/mm]
> [mm]=0,5\pm\2,5[/mm]
Hier muss es doch so lauten:
[mm]=0,5\pm2,5[/mm]
>
> [mm]x_{1}=3[/mm]
> [mm]x_{2}=-2[/mm]
Ja, jetzt ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und jetzt eben nur noch die y-Werte bestimmen.
Gruss
MathePower
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