Tangentenvektor an Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass der Tangentenvektor an eine Kurve stets in Richtung wachsender Parameterwerte zeigt. |
Hallo liebe Mathematik-Freunde,
ja, obige Aufgabe ist aus einer Übung der Differentialgeometrie. Die Aussage ist mir völlig klar.
Leider habe ich keinen richtigen Ansatz für den Beweis. Gedacht habe ich zunächst an die allgemeine Erstellung von der Tangentengleichung, um diese dann in irgendeiner Art und Weise in Verbindung mit der eigentlich Kurve zu setzen.
Aber die Ansätze sind alle viel zu flach, um wirklich etwas daraus zu gewinnen.
Daher bitte ich um einen kleinen Tipp, damit ich weiß in welche Richtung ich hier überlegen kann. So schwer ist die Aufgabe doch nicht...
Ich danke euch.
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> Beweisen Sie, dass der Tangentenvektor an eine Kurve stets
> in Richtung wachsender Parameterwerte zeigt.
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> Leider habe ich keinen richtigen Ansatz für den Beweis.
> Gedacht habe ich zunächst an die allgemeine Erstellung von
> der Tangentengleichung, um diese dann in irgendeiner Art
> und Weise in Verbindung mit der eigentlich Kurve zu
> setzen.
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> Aber die Ansätze sind alle viel zu flach, um wirklich
> etwas daraus zu gewinnen.
>
> Daher bitte ich um einen kleinen Tipp, damit ich weiß in
> welche Richtung ich hier überlegen kann. So schwer ist die
> Aufgabe doch nicht...
Das denke ich auch. Irgendwie scheint sie mir geradezu
trivial, quasi Definitionssache.
Gib doch bitte mal die Definition des Tangential-
vektors an, wie sie dir vorliegt (inkl. Schreibweise
der Parameterdarstellung der Kurve).
LG , Al-Chw.
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Hallo Al,
Danke für deine Antwort.
Hier trifft mich ein bisschen der Umstand, dass ich eben Mathe und Physik studiere. Dadurch kann ich derzeit nicht die Vorlesung besuchen und versuche quasi blind die Übungsaufgaben zu lösen.
Zur Lösung der Aufgabe gehe ich jedoch von den Standard-Definitionen aus.
Eine parametrisierte Kurve [mm] c:I\subset\to\IR^n [/mm] im Euklidischen Raum ist eine differenzierbare Abbildung eines Intervalls [mm] I\subset\IR [/mm] in den [mm] \IR^n: t\in I\mapsto c(t)\in\IR^n.
[/mm]
Und weiterhin gehe ich von der Definition des Tangentenvektors aus (in Kurzform):
[mm] \dot{c}(t)=\frac{dc}{dt} [/mm] ist der Tangentenvektor an der Kurve.
Mit diesen Informationen wollte ich eigentlich auskommen.
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> Hallo Al,
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> Danke für deine Antwort.
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> Hier trifft mich ein bisschen der Umstand, dass ich eben
> Mathe und Physik studiere. Dadurch kann ich derzeit nicht
> die Vorlesung besuchen und versuche quasi blind die
> Übungsaufgaben zu lösen.
>
> Zur Lösung der Aufgabe gehe ich jedoch von den
> Standard-Definitionen aus.
>
> Eine parametrisierte Kurve [mm]c:I\subset\to\IR^n[/mm] im
> Euklidischen Raum ist eine differenzierbare Abbildung eines
> Intervalls [mm]I\subset\IR[/mm] in den [mm]\IR^n: t\in I\mapsto c(t)\in\IR^n.[/mm]
>
> Und weiterhin gehe ich von der Definition des
> Tangentenvektors aus (in Kurzform):
> [mm]\dot{c}(t)=\frac{dc}{dt}[/mm] ist der Tangentenvektor an der
> Kurve.
>
>
> Mit diesen Informationen wollte ich eigentlich auskommen.
OK
Betrachten wir mal als Beispiel eine Kurve im [mm] \IR^3:
[/mm]
$\ c(t)\ =\ [mm] \pmat{x(t)\\y(t)\\z(t)}$
[/mm]
Tangentenvektor:
$\ [mm] \dot{c}(t)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\dot{x}(t)\\\dot{y}(t)\\\dot{z}(t)}$
[/mm]
Nun betrachten wir mal (stellvertretend auch für alle
übrigen) die erste Komponente:
$\ [mm] \dot{x}(t)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{h\to0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$
[/mm]
Ich betrachte hier den Parameter t auch wie einen
Zeitparameter, der die Durchlaufung der Kurve durch
einen der Kurve entlang fahrenden Punkt beschreibt.
Das h stehe hier für ein winziges (positives) Zeitintervall.
Der Zeitpunkt t+h sei also später als t. Die x-Koordinate
bewegt sich also innerhalb dieses Zeitintervalls von der
Stelle x(t) zur Position x(t+h) . Das Ganze kann man auch
vektoriell für alle Komponenten gemeinsam betrachten:
Der Kurvenpunkt bewegt sich im Zeitintervall [t ... t+h]
von c(t) nach c(t+h). Der dazu gehörige Bewegungsvektor
ist s(t,h)=c(t+h)-c(t) . Falls h>0 , zeigt er jedenfalls in
die Bewegungsrichtung in diesem kleinen Zeitintervall.
Die Division durch das (positive) h ändert an der Richtung
des Vektors nichts. Auch bei der Limesbildung bleibt diese
Richtung (im Wesentlichen) erhalten.
Analog könnte man auch für negatives h argumentieren.
Für eine ganz exakte Argumentation sollte man aber
meiner Meinung nach voraussetzen, dass die Kurve ein
zweites Mal differenzierbar ist und dass man die Betrachtung
nicht an einem stationären Punkt der Kurve (mit [mm] \dot{c}(t)=0)
[/mm]
durchführt.
LG , Al-Chw.
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