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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Monemi |
Der Form halber: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Hallo und schönes Wochenende,
ich bräuchte mal wieder Eure Hilfe für folgende Aufgabe:
Geben Sie für f(x,y) = [mm] 3x^2+y^2 [/mm] die Tangentialebene t und den zugehörigen Normalvektor n im Punkt (1,1) an und versuchen Sie eine grafische Darstellung.
Nun mein VERSUCH einer Lösung:
[mm] f_x(x,y) [/mm] = 6x
[mm] f_y(x,y) [/mm] = 2y
Gleichung der Tangentialebene:
z = [mm] f(x,y)+f_x(x,y)*(x-x_0)+f_y(x,y)*(y-y_0)
[/mm]
z = 3+1+6x(x-1)+2(y-1)
z= 4 + [mm] 6x^2-6x+2y-2
[/mm]
z = 2 + [mm] 6x^2-6x+2y
[/mm]
Normalvektor: Hab hier im Forum gestöbert und gefunden, dass dieser = der Gradient ist??? hier also (6,2)???
Bei der grafischen Darstellung tu ich mich ganz schwer. Könnt Ihr mir einen Tipp geben, wie ich das bewerkstellige?
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Monemi!
> Geben Sie für f(x,y) = [mm]3x^2+y^2[/mm] die Tangentialebene t und
> den zugehörigen Normalvektor n im Punkt (1,1) an und
> versuchen Sie eine grafische Darstellung.
>
> Nun mein VERSUCH einer Lösung:
>
> [mm]f_x(x,y)[/mm] = 6x
> [mm]f_y(x,y)[/mm] = 2y
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gleichung der Tangentialebene:
> z = [mm]f(x,y)+f_x(x,y)*(x-x_0)+f_y(x,y)*(y-y_0)[/mm]
Du wilst die Gleichung doch im Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] aufstellen, oder?
Dann muss sie so lauten:
$z = [mm] f(x_0,y_0) [/mm] + [mm] f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0) [/mm] + [mm] f_y(y_0,y_0) \cdot (y-y_0)$
[/mm]
$= 3+1 + 6 [mm] \cdot( [/mm] x-1) + 2 [mm] \cdot [/mm] (y-1)$.
> z = 3+1+6x(x-1)+2(y-1)
> z= 4 + [mm]6x^2-6x+2y-2[/mm]
> z = 2 + [mm]6x^2-6x+2y[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Normalvektor: Hab hier im Forum gestöbert und gefunden,
> dass dieser = der Gradient ist??? hier also (6,2)???
Fast! Der Normalenvektor der Tangentialebene ist
[mm] $\pmat{f_x(x_0,y_0) \\ f_y(x_0,y_0) \\ -1}$,
[/mm]
siehe auch hier.
> Bei der grafischen Darstellung tu ich mich ganz schwer.
> Könnt Ihr mir einen Tipp geben, wie ich das
> bewerkstellige?
Du kannst es dreidimensinal skizzieren (d.h. die Fläche des Graphen im [mm] $\IR^3$ [/mm] skizzieren, wobei die $z$-Achse die Funktionswerte darstellt, und dann im Punkt $(1,1,4)$ die Tangentialebene anpappen; naja, ich könnte so etwas nicht  ) oder aber zweidimensional die Höhenlinie einzeichnen (dort kannst du ja den Gradienten einzeichnen). Schau mal in den "Barner/Flohr", ich glaube da sind ganz nette Zeichnungen drinnen zur Tangentialebene.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Monemi |
Hallo Stefan,
erst einmal vielen lieben Dank für Deine Antwort.
Eine kleine Frage hab ich noch... du schreibst
> Dann muss sie so lauten:
>
> [mm]z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0) + f_y(y_0,y_0) \cdot (y-y_0)[/mm]
>
> [mm]= 3+1 + 6 \cdot( x-1) + 2 \cdot (y-1)[/mm].
>
Wo bleibt denn da das x von [mm] f_x(x,y)?
[/mm]
Oder hab ich da jetzt nen Denkfehler ( Was warscheinlich ist)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Monemi!
> Eine kleine Frage hab ich noch... du schreibst
>
> > Dann muss sie so lauten:
> >
> > [mm]z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x_0) + f_y(y_0,y_0) \cdot (y-y_0)[/mm]
>
> >
> > [mm]= 3+1 + 6 \cdot( x-1) + 2 \cdot (y-1)[/mm].
> >
> Wo bleibt denn da das x von [mm]f_x(x,y)?[/mm]
Es gilt ja:
[mm] $f_x(x,y)=6x$ [/mm] (<- meintest du dieses x?).
Dann folgt aber (jetzt wird aus dem $x$ ein [mm] $x_0$, [/mm] weil die Ableitung an der Stelle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] ausgewertet wird:
[mm] $f_x(x_0,y_0) [/mm] = [mm] f_x(1,1) [/mm] = 6 [mm] \cdot [/mm] 1 = 6$.
Klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Monemi |
> Klar?
Klar!
Vielen Dank und jetzt versuch ich mich mal an der Zeichnung!
Schönen Abend wünsch ich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Do 09.06.2005 | | Autor: | Monemi |
Hallöchen an alle,
ich bräuchte nochmal Eure Hilfe:
Also, gesucht war wie geschrieben die Tangentialebene von f(x,y) = [mm] 3x^2+ y^2 [/mm] im Punkt (1,1)
Wir waren ja schon soweit, das z = 4 + 6(x-1)+2(y-1)
Ich habe das jetzt ausmultipliziert und komme auf:
z = 4 + 6x-6+2y-2
z = 6x + 2y - 4
Das müßte doch jetzt die Gleichung der Tangentialebene sein, oder?
Mir wurde jedoch grad gesagt, es müsse 6x + 3y +8 heißen. Ich verstehe nicht warum ... wißt Ihr es?
Danke für Eure Hilfe!!!!!
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Hallo Monemi,
> Mir wurde jedoch grad gesagt, es müsse 6x + 3y +8 heißen.
> Ich verstehe nicht warum ... wißt Ihr es?
das einzige, das ich mir vorstellen kann ist, daß die Funktion so definiert ist:
[mm]f\left( {x,\;y} \right)\; = \;3\;x^2 \; + \;y^3 \; + \;13[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Monemi |
Guten abend Mathepower,
vielen Dank für Deine Antwort, aber die Frage wurde nur so formuliert:
Geben Sie für f(x1, x2) = [mm] 3x^2+ x^2 [/mm] die Tangentialebene t und den zugehorigen Normalenvektor im Punkt (1, 1) an und versuchen Sie eine grafische Darstellung.
Dann werd ich wohl mal Euch und mir vertrauen!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Fr 10.06.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo Monemi,
> Geben Sie für f(x1, x2) = [mm]3x^2+ x^2[/mm] die Tangentialebene t
> und den zugehorigen Normalenvektor im Punkt (1, 1) an und
> versuchen Sie eine grafische Darstellung.
die Tangentialebene, die hier ausgerechnet wurde, ist auch die richtige.
Gruß
MathePower
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