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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Sei K die Kugel mit dem Mittelpunkt M im Koordinatenursprung O und dem Radius
$r = [mm] \wurzel{165}$.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene E an K im Punkt ( 4, 7, 10 ) .
b) Wo schneidet E die Koordinatenachsen ? |
Hallo,
das wäre doch dann zu a):
[mm] $(\vec{x}-\vec{x_{p}})(\vec{x_{p}}-\vec{x_{m}})=0$
[/mm]
[mm] $\vec{x_{p}}=\vektor{4 \\ 7 \\10}$
[/mm]
[mm] $\vec{x_{m}}=0$
[/mm]
Stimmt der Ansatz so? Jetzt müsste ich noch nach [mm] $\vec{x}$ [/mm] auflösen, oder?
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> Sei K die Kugel mit dem Mittelpunkt M im
> Koordinatenursprung O und dem Radius
> [mm]r = \wurzel{165}[/mm].
> a) Bestimmen Sie die Gleichung der
> Tangentialebene E an K im Punkt ( 4, 7, 10 ) .
> b) Wo schneidet E die Koordinatenachsen ?
> Hallo,
>
> das wäre doch dann zu a):
> [mm](\vec{x}-\vec{x_{p}})(\vec{x_{p}}-\vec{x_{m}})=0[/mm]
> [mm]\vec{x_{p}}=\vektor{4 \\ 7 \\10}[/mm]
> [mm]\vec{x_{m}}=0[/mm]
>
> Stimmt der Ansatz so?
Hallo,
ja. [mm] \vec{x_{m}} [/mm] ist natürlich der Nullvektor.
> Jetzt müsste ich noch nach [mm]\vec{x}[/mm]
> auflösen, oder?
Kommt drauf an, was Du willst.
Wenn Du mit der Normalenform zufrieden bist, brauchst Du nur einzusetzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
$ [mm] (\vec{x}-\vec{x_{p}})\cdot{}\vec{x_{p}}=0 [/mm] $
D.h. wenn ich das ja jetzt auflöse kommt $ [mm] \vec{x}=\vec{x_{p}} [/mm] $
Hmm, jetzt habe ich aber gemerkt, dass ich damit nicht weiterkomme. Kannst du oder ihr mir bitte helfen?
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> [mm](\vec{x}-\vec{x_{p}})\cdot{}\vec{x_{p}}=0[/mm]
>
> D.h. wenn ich das ja jetzt auflöse
Hallo,
Du mußt es nicht auflösen, sondern einfach einsetzen. Echte Zahlen einsetzen. Dann hast Du die Normalenform der Tangentialebene.
> D.h. wenn ich das ja jetzt auflöse
> kommt
> [mm]\vec{x}=\vec{x_{p}}[/mm]
Moment! Diu rechnest hier nicht mit Zahlen, sondern mit Vektoren.
Obige Gleichung hat viel mehr Lösungen als [mm] \vec{x}=\vec{x_{p}} [/mm] ,
Es liegen in der Tangentialebene Vektoren, die senkrecht zu [mm] \vec{x_{p}} [/mm] sind, also alle Punkte, für die der Verbindungsvektor zum [mm] \vec{x_{p}} [/mm] Punkt (4, 7, 1) senkrecht auf [mm] \vec{x_{p}} [/mm] steht.
Setze also für [mm] \vec{x_{p}} [/mm] ein. [mm] \vektor{4\\7\\1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Hmmm:
$ [mm] (\vec{x}-\vektor{4 \\ 7 \\10})\cdot{}\vektor{4 \\ 7 \\10}=0 [/mm] $
$ [mm] \vec{x}\cdot{}\vektor{4 \\ 7 \\10}=\vektor{4 \\ 7 \\10}\cdot{}\vektor{4 \\ 7 \\10} [/mm] $
$4x+7y+10z=165$ Stimmt das so?
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> Hmmm:
>
> [mm](\vec{x}-\vektor{4 \\ 7 \\10})\cdot{}\vektor{4 \\ 7 \\10}=0[/mm]
>
> [mm]\vec{x}\cdot{}\vektor{4 \\ 7 \\10}=\vektor{4 \\ 7 \\10}\cdot{}\vektor{4 \\ 7 \\10}[/mm]
>
> [mm]4x+7y+10z=165[/mm] Stimmt das so?
Hallo,
unten hast Du nun die Koordinatendarstellung der Tangentialebene. Sie ist richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Jetzt zu b)
wäre die Gleichung dann einfach nur in die Achsenabschnittsform zu bringen?:
$ [mm] \bruch{4}{165}x+\bruch{7}{165}y+\bruch{10}{165}z=1 [/mm] $
D.h. Schnittpunkt:
[mm] $x=\bruch{4}{165}$
[/mm]
[mm] $y=\bruch{7}{165}$
[/mm]
[mm] $z=\bruch{10}{165}$
[/mm]
?
Oder muss da noch der Radius berücksichtigt werden?
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Hallo n0000b,
> Jetzt zu b)
>
> wäre die Gleichung dann einfach nur in die
> Achsenabschnittsform zu bringen?:
>
> [mm]\bruch{4}{165}x+\bruch{7}{165}y+\bruch{10}{165}z=1[/mm]
>
> D.h. Schnittpunkt:
>
> [mm]x=\bruch{4}{165}[/mm]
> [mm]y=\bruch{7}{165}[/mm]
> [mm]z=\bruch{10}{165}[/mm]
> ?
> Oder muss da noch der Radius berücksichtigt werden?
Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen mußt Du nochmal nachrechnen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Inwiefern? Wo liegt mein Fehler, was muss ich beachten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 13.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Inwiefern? Wo liegt mein Fehler, was muss ich beachten?
In den Achsenschnittpunkten sind jeweils zwei Koordinaten Null, also gilt z.B.
[mm] \bruch{4}{165}x+0+0=1
[/mm]
Das ist eine Gleichung, die von deinem angeblichen Ergebnis [mm] x=\bruch{4}{165} [/mm] NICHT erfüllt wird, denn [mm] \bruch{4}{165}*\bruch{4}{165} [/mm] ist NICHT gleich 1.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Stimmt hast recht. Also einmal alles umgekehrt 
Für was war jetzt eigentlich in der Aufgabenstellung [mm] $r=\wurzel{165}$ [/mm] angegeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mo 13.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Stimmt hast recht. Also einmal alles umgekehrt
>
> Für was war jetzt eigentlich in der Aufgabenstellung
> [mm]r=\wurzel{165}[/mm] angegeben?
Der Punkt (4|7|10) hat nun mal vom Ursprung diesen Abstand [mm] (\wurzel{4^2+7^2+10^2}).
[/mm]
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok, Danke. Aber für die Aufgabenstellung eigentlich nicht relevant.
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> Ok, Danke. Aber für die Aufgabenstellung eigentlich nicht
> relevant.
Hallo,
nun, relevant insofern, als daß, wenn da stünde "r=3", der vorgegebene Punkt kein Punkt der Kugel wäre, also das Sinnieren über Tangentialebene müßig.
Man hätte aber auch schreiben können: sei ... ein Punkt auf der Kugeloberfläche.
Gruß v. Angela
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