Tangentialebene & M-Pkt Kugel < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Do 06.04.2006 | | Autor: | Dirk2904 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo Zusammen!
Ich bin gerade am Lernen und komm bei einer Aufgabe nicht weiter.
Folgende Aufgabe bin ich am Rechnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Soweit bin ich inzwischen gekommen. Aufgabe 1 und 2 habe ich schon gelöst und mit Aufgabe 4 bin ich angefangen. Aufgabe 3 kann ich überhaupt nicht:
Aufgabe 1 und 2 (richtig?):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe 4 (angefangen):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Würde mich freuen, wenn ihr mir helft.
Gruß Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Do 06.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Dirk2904 & ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hallo Zusammen!
>
> Ich bin gerade am Lernen und komm bei einer Aufgabe nicht
> weiter.
> Folgende Aufgabe bin ich am Rechnen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Warum ist hier die Gerade für Aufgabe 2 nicht angegeben?
> Soweit bin ich inzwischen gekommen. Aufgabe 1 und 2 habe
> ich schon gelöst und mit Aufgabe 4 bin ich angefangen.
> Aufgabe 3 kann ich überhaupt nicht:
>
> Aufgabe 1 und 2 (richtig?):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Naja, Aufgabe 1 scheint mir richtig, nur die Schreibweise finde ich sehr merkwürdig, was ich als falsch definieren würde, ist dass du in der zweiten Zeile schreibst: [mm] (x-m)^2. [/mm] Das sind allerdings Vektoren, da fehlt der Pfeil oben drauf, es müsste also heißen: [mm] (\vec{x}-\vec{m})^2
[/mm]
In Aufgabe zwei ist dir ein ärgerlicher Fehler passiert.
Definieren wir mal den Punkt, wo Aufgabe zwei bei der anfängt, als erste Zeile für Aufgabe zwei, dann stimmt Zeile 2 noch.
du schreibst dort
[mm] (\vektor{0\\4\\-2}+\lambda\vektor{2\\2\\1}\red{-}\vektor{\red{-4}\\3\\5})^2 [/mm] =81
So weit stimmt es, doch dann missachtest du die zwei Minuszeichen und schreibst in der dritten Zeile
[mm] \vektor{-4\\1\\-7}
[/mm]
Das wären aber plus 4, auf Grund dem Minus minus. Ich habe ab da an nicht weitergerechnet.
Aufgabe 3
Wenn [mm] P_1 [/mm] (rein fiktiv) lautet [mm] P_1(1|1|1), [/mm] dann muss die Ebene genau durch diesen Punkt gehen. [mm] P_1 [/mm] ist der Berührpunkt der Ebene mit der Kugel, d. h. unser "Normalenvektor" ist der Vektor, der von [mm] P_1 [/mm] zum Mittelpunkt geht. Damit kannst du eine Koordinatenform der Ebenengleichung aufstellen.
Da fällt mir gerade auf, bei Aufgabe 2 nennst du [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] ; [mm] S_1 [/mm] sowie [mm] S_2. [/mm] Strengen Lehrern gefällt das dann überhaupt nicht.
Bei Aufgabe vier bin ich mir nicht so sicher, was man da genau machen muss.
MfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 06.04.2006 | | Autor: | Dirk2904 |
Hallo Disap!
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Hätte frühestens morgen mit einer Antwort gerechnet. Studierst du in OL an der Uni? Ich komm aus Weener (nahe Leer).
Den Fehler in Aufgabe 2 habe ich korregiert.
Sieht nun so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe 3 habe ich wie folgt gerechnet. Habe zunächst nicht verstanden, mit was ich den Normalenvektor bei der Koordinatengleichung multiplizieren muss.
Habe mir dann die Formelsammlung zur Hilfe genommen. Um ebenfalls bei deinem Rechenweg (oben) auf 28 zu kommen, hätte ich bloß r² - ([mm]\vec {n}[/mm] * Mittelpunkt) rechnen müssen.
Ist das nun richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zu deinen Beanstandungen:
> Warum ist hier die Gerade für Aufgabe 2 nicht angegeben?
Die komplette Aufgabe lautet wie folgt (a und b hab ich fertig):
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Naja, Aufgabe 1 scheint mir richtig, nur die Schreibweise
> finde ich sehr merkwürdig, was ich als falsch definieren
> würde, ist dass du in der zweiten Zeile schreibst: [mm](x-m)^2.[/mm]
> Das sind allerdings Vektoren, da fehlt der Pfeil oben
> drauf, es müsste also heißen: [mm](\vec{x}-\vec{m})^2[/mm]
Stimmt, hast Recht! War da wohl nicht ganz bei der Sache.
> Da fällt mir gerade auf, bei Aufgabe 2 nennst du [mm]P_1[/mm] und
> [mm]P_2[/mm] ; [mm]S_1[/mm] sowie [mm]S_2.[/mm] Strengen Lehrern gefällt das dann
Stimmt, S sollte für 'Schnittpunkt' stehen. Werd ich in Zukunft so schreiben, wie es in der Aufgabe steht.
Mit deiner und & riwes Hilfe zu Aufgabe 4 beschäftige ich mich nachher bzw. morgen mit.
Gruß Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 06.04.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo Disap!
Hi.
> Vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Hätte frühestens
> morgen mit einer Antwort gerechnet. Studierst du in OL an
> der Uni? Ich komm aus Weener (nahe Leer).
Neee... Ich bin kein Student  .
>
> Den Fehler in Aufgabe 2 habe ich korregiert.
> Sieht nun so aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ja, das stimmt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Aufgabe 3 habe ich wie folgt gerechnet. Habe zunächst nicht
> verstanden, mit was ich den Normalenvektor bei der
> Koordinatengleichung multiplizieren muss.
> Habe mir dann die Formelsammlung zur Hilfe genommen. Um
> ebenfalls bei deinem Rechenweg (oben) auf 28 zu kommen,
> hätte ich bloß r² - ([mm]\vec {n}[/mm] * Mittelpunkt) rechnen
> müssen.
> Ist das nun richtig?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Beide Ansätze sind richtig und auch richtig gerechnet. Nur leider umsonst... Da in der Aufgabe steht, das Punkt [mm] P_1 [/mm] derjenige Punkt sein soll, in der die [mm] x_1 [/mm] Koordinate größer null ist. Bei diesem Punkt war sie allerdings kleiner null (-3,33). Du hast allerdings schon eine Tangentialebene errechnet! Nur nicht die, die gefragt war. Das lag wahrscheinlich an den ekligen Kommazahlen!
Um es zu vervollständigen:
du hattest ja schon richtig hergeleitet:
$ 0.66x-2.34y-8.66z = [mm] \vec{n} [/mm] * ? $
Das Problem ist nun eigentlich relativ simpel. Du hast eine Koordinatenform schon fast vollständig aufgestellt, da der Normalenvektor bekannt ist. Nun soll die Ebene allerdings noch den Punkt [mm] P_1 [/mm] einschließen [mm] P_1(-3.33|0.66|-3.66)
[/mm]
Den musst du für das Fragezeichen einsetzen. Am Ende komme ich mit gerundeten Dezimalwerten auf 27,94. Da es ein Rundungsfehler ist, stimmen die 28.
>
> Zu deinen Beanstandungen:
> > Warum ist hier die Gerade für Aufgabe 2 nicht
> angegeben?
> Die komplette Aufgabe lautet wie folgt (a und b hab ich
> fertig):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Ich wollte es nicht beanstanden, sondern lediglich daraufhinweisen, dass du evtl. die Geradengleichung auch falsch abgeschrieben hast oder so bzw. dass ich es daher nicht überprüfen kann.
Passiert mir leider relativ häufig, dass ich Aufgaben miteinander vermische ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
>
> > Naja, Aufgabe 1 scheint mir richtig, nur die Schreibweise
> > finde ich sehr merkwürdig, was ich als falsch definieren
> > würde, ist dass du in der zweiten Zeile schreibst: [mm](x-m)^2.[/mm]
> > Das sind allerdings Vektoren, da fehlt der Pfeil oben
> > drauf, es müsste also heißen: [mm](\vec{x}-\vec{m})^2[/mm]
>
> Stimmt, hast Recht! War da wohl nicht ganz bei der Sache.
>
> > Da fällt mir gerade auf, bei Aufgabe 2 nennst du [mm]P_1[/mm] und
> > [mm]P_2[/mm] ; [mm]S_1[/mm] sowie [mm]S_2.[/mm] Strengen Lehrern gefällt das dann
>
> Stimmt, S sollte für 'Schnittpunkt' stehen. Werd ich in
> Zukunft so schreiben, wie es in der Aufgabe steht.
>
>
> Mit deiner und & riwes Hilfe zu Aufgabe 4 beschäftige ich
> mich nachher bzw. morgen mit.
>
> Gruß Dirk
LG
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Do 06.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hi.
> Aufgabe 4 (angefangen):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Also Aufgabe vier ist soweit richtig, du hast eine Ebene aus den Punkten A,B,D gemacht, die Ebenengleichung stimmt.
Mein Ansatz hier sieht wie folgt aus, die Kugelgleichung lautet
[mm] (x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2+ =r^2
[/mm]
Drei Punkte sind gegeben, die man dann immer wunderbar einsetzen kann.
Und auch [mm] m_1, m_2, m_3 [/mm] sind gegeben, denn da weisst du ja, dass der Mittelpunkt in der Ebene liegt, für die du schon die Koordinatenform aufgestellt hast.
7x+12y+4z = 84
Der Mittelpunkt mit den Koordinaten [mm] m_1, m_2 [/mm] und [mm] m_3 [/mm] müssen auf der Ebene liegen, haben also von der Ebene den Abstand null
[mm] d=0=\bruch{7m_1+12m_2+4m_3 - 84}{\wurzel{49+144+16}} [/mm]
Das wäre dann die vierte Bedingung für unsere Kugelgleichung.
Oder irre ich mich gerade?
VG
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Do 06.04.2006 | | Autor: | riwe |
die gleichung der tangentialebene lautet [mm] (\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{b}-\vec{m})=r^{2} [/mm] mit b = ortsvektor des berührungspunktes und m der des mittelpunktes.
zu aufgabe 4) alternativ (und ohne quadratisches zeugs): die ebene E1(ABD) hast du ja schon.
nun stelle noch die ebene senkrecht auf AB und durch deren mittelpunkt auf, und ebenso die für AD.
der schnittpunkt dieser 3 ebenen ist der gesuchte mittelpunkt der kugel mit r = d(AM).
zu lösen ist also dann das lgs.
7x + 12y + 4z = 84
8x - 5y + z = 6
-4x + y + 4z = -15
mit M(4/5/-1)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Dirk2904 |
Guten Morgen,
ich hab es leider nicht mehr geschafft mich in der letzten Woche mit Aufgabe 4 zu beschäftigen.
Den Lösungsweg von dir Disap versteh ich nicht so ganz.
Habe mich dann auf den von riwe konzentriert, doch auch hier habe ich noch eine Frage. Wie kommt man auf die folgenden Gleichungen?
8x - 5y + z = 6
-4x + y + 4z = -15
Gelöst kommt (4/5/-1) raus. Ist das dann auch die Lösung?
Gruß Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Di 11.04.2006 | | Autor: | riwe |
hallo, zunächst, ja das sind die koordinaten des mittelpunktes.
nun zu deiner 2. frage:
die beiden ebenengleichungen erhältst du so: mittelpunkt M(AB) der strecke AB bestimmen, dann eine senkrechte ebene auf AB durch M(AB) basteln, d.h. der normalenvektor ist gerade [mm] \overrightarrow{AB}, [/mm] dasselbe mit AC (oder BC). begründung: in R2 liegt der mittelpunkt eines kreises auf senkrechten geraden durch den mittelpunkt einer sehne. analog liegt in R3 M auf der ebene, die senkrecht auf eine sehne durch deren mittelpunkt geht. das 2 mal gibt die entsprechende schnittgerade und dazu die ebene, in der M liegt => lgs für die 3 unbekannten koordinaten von M.
alles klar?
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