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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:29 So 17.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helferinnen & Helfer!
Ich möchte gerne mal wissen, ob ich bei folgendem Beweisversuch richtig liege.
Die Aufgabe:
Sei [mm]M\subseteq \IR^n[/mm] eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit und sei [mm]N\subseteq \IR^n[/mm] eine l-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Zudem seien [mm]a\in M, b\in N [/mm].
Man zeige für die Tangentialräume:
[mm]T_{(a,b)}(M\times N)=T_a(M)\times T_b(N)[/mm] |
Hier mein Beweis:
Zunächstmal ist [mm]M\times N [/mm] eine (k+l)-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Das zeige ich nicht, weil ich es schon auf einem vorherigen Übungszettel mal gezeigt hatte.
Sei [mm]\theta:U\to V\subseteq \IR^{2n}[/mm] (U offen in [mm]\IR^{k+l}[/mm] und V offen in [mm]\IR^{2n}[/mm] ) eine Karte für [mm]M\times N[/mm] und [mm]\theta(c)=(a,b)[/mm].
Nach einem Satz aus O. Forster und der Vorlesung bilden dann
[mm]\frac{\partial \theta}{\partial t_1}(c),\hdots ,\frac{\partial \theta}{\partial t_{k+l}}(c) [/mm] eine Basis von [mm]T_{(a,b)}(M\times N)[/mm].
Nun kann man doch aber diese Basis in zwei "Teile" aufteilen: die Vektoren, die aus [mm]T_a(M)[/mm] stammen bzw. diesen Raum erzeugen und die Vektoren, die aus [mm]T_b(N)[/mm] stammen bzw. diesen Raum erzeugen:
Also:
[mm]T_{(a,b)}(M\times N)=<\frac{\partial \theta}{\partial t_1}(c),\hdots ,\frac{\partial \theta}{\partial t_{k+l}}(c)>=<\frac{\partial \theta}{\partial t_1}(c),\hdots ,\frac{\partial \theta}{\partial t_k}(c)> \times <\frac{\partial \theta}{\partial t_{k+1}}(c),\hdots ,\frac{\partial \theta}{\partial t_{k+l}}(c)>=T_a(M)\times T_b(N) [/mm].
q.e.d.
So, das wäre meine Idee; wenn jemand ein Feedback gibt, würde mich das sehr freuen!
Danke für jede Mühe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 17.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich sehe gerade, dass man es bestimmt noch sauberer formulieren könnte, indem man jeweils für M, N und MxN eine Karte angibt (und jeweils ein Urbild für a,b und (a,b)) und dann die Karte von MxN aus den beiden anderen Karten zusammensetzt.
Aber ich hoffe trotzdem, dass meine Idee grundlegend stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 19.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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