Tangentialraum Bsp. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien R > r > 0 und c : [mm] \IR \to \IR^2 [/mm] sei die Kurve mit
c(t) := (R+r cos (t), R+r sin (t))
Die zu [mm] c [/mm] gehörige Rotationsfläche ist der sogenannte (Rotations)torus.
a) Bestimmen Sie den Tangentialraum des Torus an den Punkten [mm] p [/mm] mit [mm] p \in \{(R+r,0,0),(R,0,r),(R-r,0,0)\} [/mm].
b) Zeigen Sie, dass für die ersten beiden p jeweils eine Seite der Ebene [mm] \{p\} + T_p f [/mm] existiert, die keine Punkte des Torus bzw. der Menge [mm]f(\IR^2) [/mm] enthält. Zeigen Sie weiterhin, dass für [mm]p = (R-r,0,0) [/mm] auf beiden Seiten von [mm] \{p\}+T_p f [/mm] Punkte von [mm] f(\IR^2) [/mm] existieren.
c) Bestimmen Sie die Menge [mm] ({p\} + T_p f) \cap f(\IR^2) [/mm] in den ersten beiden Fällen explizit und zeigen Sie, dass sie im dritten Fall unendlich viele Elemente hat. |
Also der Tangentialraum einer Fläche ist definiert als:
[mm] (df)_{(x_1,x_2)} (\IR^2) = span (\bruch{\delta f}{\delta x_1},\bruch{\delta f}{\delta x_2}) = \{\lambda_1 \bruch{\delta f}{\delta x_1} + \lambda_2 \bruch{\delta f}{\delta x_2} \; | \; \lambda_1, \lambda_2 \in \IR\} = T_{(x_1,x_2)} f. [/mm]
zu a) (ich bin schon froh wenn ich diesen Teil erstmal habe^^)
Heißt [mm] (df)_{(x_1,x_2)} (\IR^2) [/mm] dass ich einfach nur die Ableitungsmatrix von f aufstellen muss
(also mit den partiellen Ableitungen von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm], was ist mit [mm] x_3 [/mm])?
Ich verstehe nicht ganz wie ich jetzt die Punkte mit drei Koordinaten auf diese
Definition loslassen soll, die ja nur für 2 ([mm] x_1,x_2 [/mm]) definiert ist.
Das Problem ist, dass wir auch noch kein Beispiel gerechnet haben.
Kann mir jemand beim Verstehen der Definition helfen?
Das übliche Problem an der Uni halt. Immer vom Allgemeinen (Definition) zum
Spezifischen (Beispiel). Dabei lernt man viel besser, wenn es umgekehrt angegangen wird -.-
mfg musesician
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 07.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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