Tanzpaare mit Siebformel < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Mi 15.05.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | An einem Tanzwettbewerb nehmen genau 5 Paare teil. Die Paare werden durch Auslosung neu zusammengewürfelt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) alle 5 Paare wieder zusammengeführt werden
b) genau 1 Paar, genau 2 Paare, genau 3 Paare, genau 4 Paare zusammengeführt werden.
c) kein Paar zusammengeführt wird. |
Moin!
da ich (für mich) gerne auch verstehen würde, wie die Lösung dieses Problems mit der Siebformel, die ich im Internet entdeckt habe, geht... dieser Beitrag!
Die Siebformel lautet:
P(n,k) = [mm] \vektor{n \\ k}*\bruch{(n-k)!}{n!}*\summe_{i=0}^{n-k} (-1)^i*\bruch{1}{i!}
[/mm]
richtig?
1. Frage
Wie erklären sich die einzelnen Bestandteile dieser Formel?
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] das sind die Anzahl der Pfade mit k Treffern
[mm] \bruch{(n-k)!}{n!} [/mm]
Was ich weiss ist, dass das "umgedrehte", d.h. [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] die Anzahl der Kombinationen angibt, ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge
Könnte man sagen, dass dies die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis mit k Treffern ist?
...und wenn ich das ausmultipliziere
[mm] \vektor{n \\ k}*\bruch{(n-k)!}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k!} [/mm]
auch hier fehlt mir die Interpretation!!
Noch schwieriger zu verstehen ist die Summenformel.
[mm] \summe_{i=0}^{n-k} (-1)^i*\bruch{1}{i!}
[/mm]
Da habe ich keine Idee, was da aufsummiert wird und warum das alternierend addiert und subtrahiert wird! ?????
2. Einsetzen kann man ja (mechanisch)
P(5,5) = [mm] \vektor{5 \\ 5}*\bruch{(5-5)!}{5!}*\summe_{i=0}^{5-5} (-1)^i*\bruch{1}{i!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{120}
[/mm]
P(5,1) = [mm] \vektor{5 \\ 1}*\bruch{(5-1)!}{5!}*\summe_{i=0}^{5-1} (-1)^i*\bruch{1}{i!} [/mm] = [mm] 5*\bruch{1}{5}*(\bruch{1}{0!} -\bruch{1}{1!} +\bruch{1}{2!} -\bruch{1}{3!} +\bruch{1}{4!})
[/mm]
= 1*(1 -1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6} +\bruch{1}{24}) [/mm] = [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
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Hallo hase-hh,
es kann nie schaden, eine möglichst komplizierte Notation zu verwenden. So bleibt man in Übung...
> An einem Tanzwettbewerb nehmen genau 5 Paare teil. Die
> Paare werden durch Auslosung neu zusammengewürfelt.
>
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
>
> a) alle 5 Paare wieder zusammengeführt werden
> b) genau 1 Paar, genau 2 Paare, genau 3 Paare, genau 4
> Paare zusammengeführt werden.
> c) kein Paar zusammengeführt wird.
> Moin!
Jo, Moin!
> da ich (für mich) gerne auch verstehen würde, wie die
> Lösung dieses Problems mit der Siebformel, die ich im
> Internet entdeckt habe, geht... dieser Beitrag!
>
> Die Siebformel lautet:
>
> P(n,k) = [mm]\vektor{n \\ k}*\bruch{(n-k)!}{n!}*\summe_{i=0}^{n-k} (-1)^i*\bruch{1}{i!}[/mm]
>
> richtig?
Ja, kann das Internet denn irren? 
> 1. Frage
>
> Wie erklären sich die einzelnen Bestandteile dieser
> Formel?
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] das sind die Anzahl der Pfade mit k
> Treffern
>
> [mm]\bruch{(n-k)!}{n!}[/mm]
>
> Was ich weiss ist, dass das "umgedrehte", d.h.
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!}[/mm] die Anzahl der Kombinationen angibt,
> ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge
Na, dann solltest Du das in Deine Überlegung auch einbauen.
> Könnte man sagen, dass dies die Wahrscheinlichkeit für
> ein bestimmtes Ergebnis mit k Treffern ist?
>
> ...und wenn ich das ausmultipliziere
>
> [mm]\vektor{n \\ k}*\bruch{(n-k)!}{n!}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k!}[/mm]
>
> auch hier fehlt mir die Interpretation!!
Es geht einfacher, s.u.
> Noch schwieriger zu verstehen ist die Summenformel.
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n-k} (-1)^i*\bruch{1}{i!}[/mm]
>
> Da habe ich keine Idee, was da aufsummiert wird und warum
> das alternierend addiert und subtrahiert wird! ?????
Dazu empfiehlt es sich, den Begriff ![[]](/images/popup.gif) Subfakultät nachzuschlagen.
> 2. Einsetzen kann man ja (mechanisch)
...oder pneumatisch...
> P(5,5) = [mm]\vektor{5 \\ 5}*\bruch{(5-5)!}{5!}*\summe_{i=0}^{5-5} (-1)^i*\bruch{1}{i!}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{120}[/mm]
>
> P(5,1) = [mm]\vektor{5 \\ 1}*\bruch{(5-1)!}{5!}*\summe_{i=0}^{5-1} (-1)^i*\bruch{1}{i!}[/mm]
> = [mm]5*\bruch{1}{5}*(\bruch{1}{0!} -\bruch{1}{1!} +\bruch{1}{2!} -\bruch{1}{3!} +\bruch{1}{4!})[/mm]
>
> = 1*(1 -1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]%5Cbruch%7B1%7D%7B6%7D%20%2B%5Cbruch%7B1%7D%7B24%7D)[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
Schön. Was ist damit jetzt gewonnen? Hurra, wir haben einen Bruch, und er ist <1.
Die Siebformel kann man erheblich vereinfachen, wenn man die Formel für den Binomialkoeffizienten und die Notation der Subfakultät verwendet - und außerdem noch kürzt. Dann steht da nur noch:
[mm] P(n,k)=\bruch{!(n-k)}{k!}
[/mm]
Das kann man sich nicht nur leichter merken, sondern man es sich auch leichter veranschaulichen. Versuchs mal.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 15.05.2013 | | Autor: | hase-hh |
> Ja, kann das Internet denn irren?
Ja (rhetorische Antwort)
> > 1. Frage
> >
> > Wie erklären sich die einzelnen Bestandteile dieser
> > Formel?
> >
> > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] das sind die Anzahl der Pfade mit k
> > Treffern
> >
> > [mm]\bruch{(n-k)!}{n!}[/mm]
> >
> > Was ich weiss ist, dass das "umgedrehte", d.h.
> > [mm]\bruch{n!}{(n-k)!}[/mm] die Anzahl der Kombinationen angibt,
> > ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der
> Reihenfolge
>
> Na, dann solltest Du das in Deine Überlegung auch
> einbauen.
Hä? Dieses Statement bringt mich ja nun gar nicht weiter!
> > Könnte man sagen, dass dies die Wahrscheinlichkeit für
> > ein bestimmtes Ergebnis mit k Treffern ist?
> >
> > ...und wenn ich das ausmultipliziere
> >
> > [mm]\vektor{n \\ k}*\bruch{(n-k)!}{n!}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k!}[/mm]
> >
> > auch hier fehlt mir die Interpretation!!
>
> Es geht einfacher, s.u.
>
> > Noch schwieriger zu verstehen ist die Summenformel.
> >
> > [mm]\summe_{i=0}^{n-k} (-1)^i*\bruch{1}{i!}[/mm]
> >
> > Da habe ich keine Idee, was da aufsummiert wird und
> warum
> > das alternierend addiert und subtrahiert wird! ?????
>
> Dazu empfiehlt es sich, den Begriff
> Subfakultät
> nachzuschlagen.
So nun sind wir bei der Subfakultät.
Auch diese Formel ist erklärungsbedürftig.
Wie kommt sie zustande? Aus welchen Komponenten besteht sie? bzw. wofür stehen die Komponenten???
Fakultät zu verstehen ist einfach: das ist 1*2*3 usw.
Aber was um Himmels willen macht man bei der Subfakultät und warum?
[Tut mir leid, das Lesen des Wikipedia-Artikels hat mich auch nicht viel schlauer gemacht!]
Was bedeutet eigentlich der Ausruck "fixpunktfreie" Permutationen; gut Permutationen sind Umordnungen / Vertauschungen... Ich brauche ein einfaches Beispiel!
> > 2. Einsetzen kann man ja (mechanisch)
>
> ...oder pneumatisch...
Na gut, Luft kann ich dabei auch noch holen...
> > P(5,5) = [mm]\vektor{5 \\ 5}*\bruch{(5-5)!}{5!}*\summe_{i=0}^{5-5} (-1)^i*\bruch{1}{i!}[/mm]
>
> > = [mm]\bruch{1}{120}[/mm]
> >
> > P(5,1) = [mm]\vektor{5 \\ 1}*\bruch{(5-1)!}{5!}*\summe_{i=0}^{5-1} (-1)^i*\bruch{1}{i!}[/mm]
>
> > = [mm]5*\bruch{1}{5}*(\bruch{1}{0!} -\bruch{1}{1!} +\bruch{1}{2!} -\bruch{1}{3!} +\bruch{1}{4!})[/mm]
>
> >
> > = 1*(1 -1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] -
> [mm]%5Cbruch%7B1%7D%7B6%7D%20%2B%5Cbruch%7B1%7D%7B24%7D)[/mm] =
> > [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
>
> Schön. Was ist damit jetzt gewonnen? Hurra, wir haben
> einen Bruch, und er ist <1.
>
> Die Siebformel kann man erheblich vereinfachen, wenn man
> die Formel für den Binomialkoeffizienten und die Notation
> der Subfakultät verwendet - und außerdem noch kürzt.
> Dann steht da nur noch:
>
> [mm]P(n,k)=\bruch{!(n-k)}{k!}[/mm]
Das sieht ja erstmal gut aus. Aber um dazu Fragen stellen zu können, müsste ich erst Antwort auf obige Fragen erhalten haben.
> Das kann man sich nicht nur leichter merken, sondern man es
> sich auch leichter veranschaulichen. Versuchs mal.
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Huhu hase 
erstmal vorweg: Das was du gepostet hast, ist erstmal nur ein Spezialfall der "Siebformel".
Allgemein lautet die nämlich (keine Angst!)
[mm] $\mathsf{P}\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!\mathsf{P}\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)$
[/mm]
Diese ist anschaulich meiner Meinung nach wesentlich schneller zu verstehen, als dein Spezialfall. Wenn man sie sich mal für 2 oder 3 Mengen anschaut, wird der Aufbau recht schnell klar (d.h. es ist ein schönes Beispiel, wo der allgemeine Fall einfacher zu durchschauen ist als der Spezialfall).
Für 2 Mengen:
$P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - [mm] P(A\cap [/mm] B)$
Heißt: Das Wahrscheinlichkeit, dass [mm] $A\cup [/mm] B$ auftritt ist eben die Wahrscheinlichkeit von A plus die Wahrscheinlichkeit von B abzüglich dessen, was wir jetzt "doppelt" gezählt haben.
Analog halt mal induktiv bei 3 Elementen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] $A\cup B\cup [/mm] C$ auftritt ist eben die Summe der Wahrscheinlichkeiten von A,B und C, abzüglich dessen, was in je zwei Mengen liegt, also in [mm] $A\cap [/mm] B, [mm] B\cap [/mm] C$ und [mm] $A\cap [/mm] C$.
Nun haben wir allerdings "zuviel" abgezogen, nämlich die Elemente doppelt, die in allen drei Mengen liegen, d.h. wir müssen diese wieder dazuaddieren. Oder in Formel:
[mm] $P(A\cup B\cup [/mm] C) = P(A) + P(B) + P(C) - [mm] P(A\cap [/mm] B) - [mm] P(A\cap [/mm] C) - [mm] P(B\cap [/mm] C) + [mm] P(A\cap B\cap [/mm] C)$
Für n Mengen kann man nun die Siebformel induktiv beweisen.
Legt man nun das Urnenmodell zugrund mit dem passenden W-Maß erhält man eben "deine" Siebformel.
Nun zu deiner Frage mit den "fixpunktfreien" Permutationen.
Was eine Permutation ist, weißt du ja. "Fixpunktfrei" bedeutet nun, dass kein Element auf sich selbst abgebildet wird!
Bei 3 Elementen wären das beispielsweise nur die Permutationen.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
Alle anderen haben jeweils einen Fixpunkt.
Die Anzahl dieser Permutationen schreibt man eben kurz als !3.
Ergo:
3! = 6
!3 = 2
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Do 16.05.2013 | | Autor: | hase-hh |
> Für n Mengen kann man nun die Siebformel induktiv
> beweisen.
>
> Legt man nun das Urnenmodell zugrund mit dem passenden
> W-Maß erhält man eben "deine" Siebformel.
>
> Nun zu deiner Frage mit den "fixpunktfreien"
> Permutationen.
> Was eine Permutation ist, weißt du ja. "Fixpunktfrei"
> bedeutet nun, dass kein Element auf sich selbst abgebildet
> wird!
> Bei 3 Elementen wären das beispielsweise nur die
> Permutationen.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
>
> Alle anderen haben jeweils einen Fixpunkt.
> Die Anzahl dieser Permutationen schreibt man eben kurz als
> !3.
> Ergo:
>
> 3! = 6
> !3 = 2
>
> Gruß,
> Gono.
Vielen Dank Gono,
das ist recht gut verständlich.
Eine Frage habe ich zu fixpunktfreien Permutationen:
Während ich bei n! ja auch den Ausgangsfall mitzähle, tue ich es offensichtlich bei der Subfakultät nicht; richtig?
3! = 6 123 132 213 231 312 321
!3 = 2 123 wird nicht mitgezählt?
231
312
merkwürdig ist das ja schon?!??
Ich würde also die Subfakultät definieren, als die Anzahl der Umordungsmöglichkeiten /Vertauschungsmöglichkeiten / Permutationen, unter der Bedingung, dass kein Platz mehrfach vom selben Element belegt werden darf. Also alle Werte, die der Platz bereits angenommen hat, dürfen bei der nächsten Kombination nicht auftreten.
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Hiho,
> Eine Frage habe ich zu fixpunktfreien Permutationen:
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> Während ich bei n! ja auch den Ausgangsfall mitzähle, tue ich es offensichtlich bei der Subfakultät nicht; richtig?
Korrekt, denn die Identität einer n-Permutation hat ja gerade n Fixpunkte, also insbesondere einen
> merkwürdig ist das ja schon?!??
Warum?
> Ich würde also die Subfakultät definieren, als die Anzahl der Umordungsmöglichkeiten /Vertauschungsmöglichkeiten / Permutationen, unter der Bedingung, dass kein Platz mehrfach vom selben Element belegt werden darf. Also alle Werte, die der Platz bereits angenommen hat, dürfen bei der nächsten Kombination nicht auftreten.
Doch, das kam dir nur bei 3 Elementen so vor.
In der Schreibweise wie oben sind die fixpunktfreien Permutationen einfach die, wo keine Zahl unter sich selbst steht.
Aber mehrfach dürfen die schon in Permutationen auftreten.
Bei 4 Elementen wären das beispielsweise:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 }
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Do 16.05.2013 | | Autor: | hase-hh |
> > Eine Frage habe ich zu fixpunktfreien Permutationen:
> >
> > Während ich bei n! ja auch den Ausgangsfall mitzähle,
> tue ich es offensichtlich bei der Subfakultät nicht;
> richtig?
>
> Korrekt, denn die Identität einer n-Permutation hat ja
> gerade n Fixpunkte, also insbesondere einen
>
> > merkwürdig ist das ja schon?!??
>
> Warum?
Also gehe ich bei fixpunktfreien Permutationen von einer fixen Kombination aus... daher der Unterschied zu n!
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:01 Do 16.05.2013 | | Autor: | hase-hh |
> > 1. Frage
> >
> > Wie erklären sich die einzelnen Bestandteile dieser
> > Formel?
> >
> > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] das sind die Anzahl der Pfade mit k Treffern
> >
> > [mm]\bruch{(n-k)!}{n!}[/mm]
> >
> > Was ich weiss ist, dass das "umgedrehte", d.h.
> > [mm]\bruch{n!}{(n-k)!}[/mm] die Anzahl der Kombinationen angibt,
> > ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge
Also, ich versuche mal eine Idee:
Ich multipliziere die Anzahl der Pfade mit k Treffern, mit der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Kombination mit k Treffern, ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge.
[mm]\vektor{n \\ k}*\bruch{(n-k)!}{n!}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k!}[/mm]
> > Noch schwieriger zu verstehen ist die Summenformel.
> >
> > [mm]\summe_{i=0}^{n-k} (-1)^i*\bruch{1}{i!}[/mm]
> >
> > Da habe ich keine Idee, was da aufsummiert wird und warum
> > das alternierend addiert und subtrahiert wird! ?????
Ich fand bei dem Artikel über Subfakultäten, dass [mm] \summe_{i=0}^{n-k} (-1)^i*\bruch{1}{i!} [/mm] der Anteil der fixpunktfreien Permutationen ist.
Daraus würde ich folgern, dass dieser Faktor die Wahrscheinlichkeit für n-k Mißerfolge ausdrückt.
Dies kombiniert mit [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] für die Wahrscheinlichkeit für k Treffer... ergibt die Formel.
richtig?
Danke & Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 18.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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