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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diese Aufgabe möchte ich bitte in kleinen Schritten lösen, da ich noch nicht ganz genau weiß, wo mein evtl. Fehler liegt...
Man bestimme die Taylor-Entwicklung der Funktion
[mm] f:\IR_+^{\star}\times\IR_+^{\star}\to\IR, \; f(x,y):=\bruch{x-y}{x+y},
[/mm]
im Punkt (1,1) bis einschließlich den Glidern 2. Ordnung.
Nun steht im Buch unter Taylorsche Formel folgende Formel:
[mm] f(x+\xi) [/mm] = [mm] \summe_{|\alpha|\le k}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha} [/mm] + [mm] \summe_{|\alpha|=k+1}\bruch{D^{\alpha}f(x+\theta\xi)}{\alpha!}\xi^{\alpha}
[/mm]
Mittlerweile glaube ich allerdings, dass das die falsche Formel ist, oder jedenfalls die, die ich hier nicht benutzen kann, oder?
Als Bemerkung steht dann zwei Seiten weiter:
[mm] P_m(\xi):=\summe_{|\alpha|=m}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}
[/mm]
Muss ich damit rechnen?
Wäre dann:
[mm] \summe_{|\alpha|=0}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}=f(1,1) [/mm] ?
und
[mm] \summe_{|\alpha|=1}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha} [/mm] = [mm] D_2f(1,1)\xi_2+D_1f(1,1)\xi_1
[/mm]
Und [mm] D_2 [/mm] bedeutet doch [mm] \bruch{\partial}{\partial{y}}, [/mm] oder? Dann wäre das:
[mm] =\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}(1,1)\xi_2+\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}(1,1)\xi_1
[/mm]
Könnte das vielleicht erstmal jemand kontrollieren, bevor ich weiterrechne?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich habe dir doch in meiner anderen Antwort genau die Notation erklärt und vorgerechnet, wie die Glieder bis zur dritten Ordnung aussehen.
Bis zur zweiten Ordnung sieht es dann eben so aus (ich kopiere nur und breche einfach früher ab, nämlich nach der zweiten Ordnung):
$f((1,1) + [mm] (\xi_1,\xi_2))$ [/mm]
$= [mm] \frac{1}{0! \cdot 0!} \cdot [/mm] f(1,1) [mm] \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^0 [/mm] + [mm] \frac{1}{1! \cdot 0!} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1^1 \cdot \xi_2^0 [/mm] + [mm] \frac{1}{0! \cdot 1!} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^1 [/mm] + [mm] \frac{1}{2! \cdot 0!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2^0 [/mm] + [mm] \frac{1}{0! \cdot 2!} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{1! \cdot 1!} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1^1 \cdot \xi_2^1 [/mm] + [mm] \ldots$ [/mm]
$= f(1,1) + [mm] \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1 [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_2^2 [/mm] + [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2+ \ldots$ [/mm]
> Man bestimme die Taylor-Entwicklung der Funktion
>
> [mm]f:\IR_+^{\star}\times\IR_+^{\star}\to\IR, \; f(x,y):=\bruch{x-y}{x+y},[/mm]
>
> im Punkt (1,1) bis einschließlich den Glidern 2. Ordnung.
>
> Nun steht im Buch unter Taylorsche Formel folgende Formel:
>
> [mm]f(x+\xi)[/mm] = [mm]\summe_{|\alpha|\le k}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm]
> +
> [mm]\summe_{|\alpha|=k+1}\bruch{D^{\alpha}f(x+\theta\xi)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm]
>
> Mittlerweile glaube ich allerdings, dass das die falsche
> Formel ist, oder jedenfalls die, die ich hier nicht
> benutzen kann, oder?
Doch, genau die sollst du benutzen (siehe oben), bis [mm] $|\alpha|=2$, [/mm] allerdings eben ohnd das Restglied [mm]\summe_{|\alpha|=k+1}\bruch{D^{\alpha}f(x+\theta\xi)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm].
> Als Bemerkung steht dann zwei Seiten weiter:
>
> [mm]P_m(\xi):=\summe_{|\alpha|=m}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm]
>
> Muss ich damit rechnen?
Das ist doch das genau ein Summand der obigen Formel, gibt also nichts Neues.
> [mm]\summe_{|\alpha|=0}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}=f(1,1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und
>
> [mm]\summe_{|\alpha|=1}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm]
> = [mm]D_2f(1,1)\xi_2+D_1f(1,1)\xi_1[/mm]
> Und [mm]D_2[/mm] bedeutet doch [mm]\bruch{\partial}{\partial{y}},[/mm] oder?
> Dann wäre das:
>
> [mm]=\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}(1,1)\xi_2+\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}(1,1)\xi_1[/mm]
Und jetzt benötigst du noch die Summanden mit [mm] $|\alpha|=2$... [/mm] (aber die kannst du ja oben ablesen aus meiner Darstellung).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Fusioner |
hallo ich hoffe es ist nicht schlimm das ich eine zwischenfrage stelle.
sie ist wahrscheinlich blöd aber ich stell sie trotzdem.
was bedeutet eigentlich dieses [mm]\xi[/mm], und muss ich das berechnen oder lass ich das stehen so wie es ist.
bin damit noch ein bißchen überfragt.
gruß fusi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, in der Nähe von $0$ lässt sich
[mm] $g(\xi):=f(x+ \xi)$ [/mm] (dies ist $f(y)$ mit $y$ "nahe bei" $x$)
für festes $x$ bei hinreichender Differenzierbarkeit von $f$ als Polynom [mm] $T_n(f)$ [/mm] approximieren. Die Unbestimmte dieses Polynoms ist [mm] $\xi$.
[/mm]
Setzt du dort einen konkreten Wert [mm] $\xi_0$ [/mm] (nahe $0$) ein, so erhältst du eine Näherung für $f(x + [mm] \xi_0)$. [/mm] Wie gut die Näherungs ist, kann du mit Formeln abschätzen, die sich etwa aus der Restglieddarstellung entwickeln lassen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Ich habe dir doch in meiner anderen Antwort genau die
> Notation erklärt und vorgerechnet, wie die Glieder bis zur
> dritten Ordnung aussehen.
Ja, sorry, das hatte ich ja auch gelesen. Aber irgendwie war mir diese Schreibweise immer noch zu durcheinander, deswegen wollte ich es selber versuchen. Und nur abschreiben wollte ich ja sowieso nicht. 
> Bis zur zweiten Ordnung sieht es dann eben so aus (ich
> kopiere nur und breche einfach früher ab, nämlich nach der
> zweiten Ordnung):
>
> [mm]f((1,1) + (\xi_1,\xi_2))[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{0! \cdot 0!} \cdot f(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^0 + \frac{1}{1! \cdot 0!} \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1^1 \cdot \xi_2^0 + \frac{1}{0! \cdot 1!} \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^1 + \frac{1}{2! \cdot 0!} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 \cdot \xi_2^0 + \frac{1}{0! \cdot 2!} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_1^0 \cdot \xi_2^2 + \frac{1}{1! \cdot 1!} \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1^1 \cdot \xi_2^1 + \ldots[/mm]
>
> [mm]= f(1,1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) \cdot \xi_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \cdot \xi_2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) \cdot \xi_1^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1) \cdot \xi_2^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y }(1,1) \cdot \xi_1 \cdot \xi_2+ \ldots[/mm]
>
> > Man bestimme die Taylor-Entwicklung der Funktion
> >
> > [mm]f:\IR_+^{\star}\times\IR_+^{\star}\to\IR, \; f(x,y):=\bruch{x-y}{x+y},[/mm]
>
> >
> > im Punkt (1,1) bis einschließlich den Glidern 2. Ordnung.
> >
> > Nun steht im Buch unter Taylorsche Formel folgende Formel:
> >
> > [mm]f(x+\xi)[/mm] = [mm]\summe_{|\alpha|\le k}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm]
> > +
> >
> [mm]\summe_{|\alpha|=k+1}\bruch{D^{\alpha}f(x+\theta\xi)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm]
> >
> > Mittlerweile glaube ich allerdings, dass das die falsche
> > Formel ist, oder jedenfalls die, die ich hier nicht
> > benutzen kann, oder?
>
> Doch, genau die sollst du benutzen (siehe oben), bis
> [mm]|\alpha|=2[/mm], allerdings eben ohnd das Restglied
> [mm]\summe_{|\alpha|=k+1}\bruch{D^{\alpha}f(x+\theta\xi)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm].
Ja, eben - ohne das Restglied. Und das hatte mich total durcheinandergebracht, dass das eigentlich die einzige Formel war, die ich gefunden hatte, und das aber eigentlich so keine Formel zum Berechnen war. Naja, ich glaub', jetzt hab' ich's.
> > Als Bemerkung steht dann zwei Seiten weiter:
> >
> >
> [mm]P_m(\xi):=\summe_{|\alpha|=m}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm]
> >
> > Muss ich damit rechnen?
>
> Das ist doch das genau ein Summand der obigen Formel, gibt
> also nichts Neues.
Naja, neu schon, denn es fehlt der Teil, der mich verwirrt hatte. 
> [mm]\summe_{|\alpha|=0}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}=f(1,1)[/mm]
>
>
>
> > und
> >
> >
> [mm]\summe_{|\alpha|=1}\bruch{D^{\alpha}f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}[/mm]
> > = [mm]D_2f(1,1)\xi_2+D_1f(1,1)\xi_1[/mm]
>
>
>
> > Und [mm]D_2[/mm] bedeutet doch [mm]\bruch{\partial}{\partial{y}},[/mm] oder?
>
>
>
> > Dann wäre das:
> >
> >
> [mm]=\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}(1,1)\xi_2+\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}(1,1)\xi_1[/mm]
>
>
>
> Und jetzt benötigst du noch die Summanden mit [mm]|\alpha|=2[/mm]...
> (aber die kannst du ja oben ablesen aus meiner
> Darstellung).
Ja, ich habe sie auch selber nochmal berechnet, damit ich diese Multiindex-Schreibweise jetzt verstehe. Ich schreibe mal, was ich da jetzt sonst noch so berechnet habe und dann mein Ergebnis:
$f(1,1)=0$
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{y}} [/mm] = [mm] \bruch{-2x}{(x+y)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{y}}(1,1) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] \bruch{2y}{(x+y)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}(1,1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{y^2}} [/mm] = [mm] \bruch{4x}{(x+y)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}(1,1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{x^2}} [/mm] = [mm] \bruch{-4y}{(x+y)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}(1,1) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} [/mm] = [mm] \bruch{-2(x+y)+4x}{(x+y)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}}(1,1) [/mm] = 0
Das ergäbe dann als Taylorpolynom:
[mm] P_2(\xi) [/mm] = [mm] 0-\bruch{1}{2}\xi_2+\bruch{1}{2}\xi_1+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}*\xi_2^2+\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2})*\xi_1^2+0 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}\xi_2+\bruch{1}{2}\xi_1+\bruch{1}{4}\xi_2^2-\bruch{1}{4}\xi_1^2
[/mm]
Falls hier Rechenfehler drin sein sollten, ist das wohl nicht ganz so schlimm - das Prinzip habe ich jetzt, denke ich, verstanden. Aber eine Frage habe ich noch: was bedeutet denn das [mm] \xi? [/mm] Normalerweise macht man doch eine Taylorentwicklung an einem Punkt - so wie hier auch. Aber dieser Punkt war nicht das [mm] \xi [/mm] sondern das x.
Vielleicht ist das eine schlechte Frage, die man so nicht beantworten kann - dann lass es lieber.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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Hallo Christiane,
also hier noch mal der Link zu meiner Rechnung
https://matheraum.de/read?i=93576 .
Und dann sollte ein grundlegender Unterschied klar sein. Es gibt die Taylorformel mit Restglied und ohne. Ich habe in meiner Rechnung das Restglied nicht berücksichtigt. Im Restglied kommt dann auch dieses [mm] \Xi [/mm] vor. Das Restglied bedient lediglich den Fehler, den man bei jeder Approximation berücksichtigen muss. Das Taylorpolynom gibt eben unter Berücksichtigung eines Fehlers eine "leichte" Funktion mit der man numerisch gut arbeiten kann. Dieses [mm] \Xi [/mm] kann man weder berechnen noch muss man sich im Grundstudium weiter darüber Gedanken machen.
Und noch was, wenn du die Darstellung im Forster nicht verstehst, dann kuck eben in ein anderes Buch. Der Königsberger macht das auch sehr schön.
Bei deiner Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{x-y}{x+y} [/mm] ist das Taylorpolynom zweiter Ordnung
[mm] f(x+1,y+1)=f(1,1)+\bruch{\partial f}{\partial x}(1,1)x+\bruch{\partial f}{\partial y}(1,1)y+\bruch{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(1,1)x^{2}/2+\bruch{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(1,1)xy+\bruch{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(1,1)y^{2}/2*+R_{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{2}-\bruch{y}{2}-\bruch{x^{2}}{4}+\bruch{y^{2}}{4}+R_{3}
[/mm]
wobei
[mm] R_{3}=\bruch{\partial^{3}f}{\partial x^{3}}(1+\Xix,1+\Xix)x^{3}/6+ [/mm] usw...
[mm] =\bruch{2}{2+\Xi(x+y))^{4}}(x+y)^{2}(x-y).
[/mm]
So, jetzt habe ich die Forster-Notation benutzt. Ich hoffe, das hilft jetzt aber zum weiteren Verständnis.
Sorry, aber das richtige Zeichen für Xi habe ich im Editor nicht gefunden!
VG mathmetzsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:51 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich glaub', die Aufgabe habe ich jetzt erstmal abgeschlossen - ich denke, ich habe es verstanden. Aber bevor ich noch ganz vergesse, hier drauf zu reagieren, mache ich das mal jetzt noch schnell:
> Und dann sollte ein grundlegender Unterschied klar sein. Es
> gibt die Taylorformel mit Restglied und ohne. Ich habe in
> meiner Rechnung das Restglied nicht berücksichtigt. Im
> Restglied kommt dann auch dieses [mm]\Xi[/mm] vor. Das Restglied
> bedient lediglich den Fehler, den man bei jeder
> Approximation berücksichtigen muss. Das Taylorpolynom gibt
> eben unter Berücksichtigung eines Fehlers eine "leichte"
> Funktion mit der man numerisch gut arbeiten kann. Dieses
> [mm]\Xi[/mm] kann man weder berechnen noch muss man sich im
> Grundstudium weiter darüber Gedanken machen.
Ja, es ist wohl genau wie bei Funktionen mit nur einer Veränderlichen!? Das hatte ich allerdings auch nicht allzu intensiv gelernt (werde ich noch nachholen), und deswegen werfe ich die Wörter Taylorpolynom und Taylorformel immer durcheinander. Also ein Polynom ist in unserem Fall dann wohl meistens endlich, weil man es in der Regel bis zu einem bestimmten Grad berechnen soll. Und die Taylorformel nimmt man dann wohl meistens allgemein als Annäherung - vielleicht für Beweise!?
> Und noch was, wenn du die Darstellung im Forster nicht
> verstehst, dann kuck eben in ein anderes Buch. Der
> Königsberger macht das auch sehr schön.
Ja, da hast du prinzipiell natürlich recht. Deswegen wollte ich mich ja auch erstmal mit deiner Formel anfreunden. Allerdings ist es auch so, dass der Prof den Forster quasi zitiert hat, und da sollte ich die Schreibweise da drin vielleicht schon verstehen.
> Sorry, aber das richtige Zeichen für Xi habe ich im Editor
> nicht gefunden!
*g* Du hättest es einfach nur klein schreiben brauchen: [mm] \xi [/mm] anstatt [mm] \Xi. [/mm] Übrigens kannst du auch auf geschriebene Formeln drauf klicken, dann siehst du, wie sie geschrieben werden. Aber macht nichts, ich habe auch so verstanden, was du meintest. Vielen Dank. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Viele Grüße
Bastiane
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