Taylor-Formel 1/cos(x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:50 Fr 15.05.2009 | | Autor: | GreatBritain |
| Aufgabe | Geben Sie die Taylor-Formel n-ter Ordnung für f bei 0 an.
[mm] f(x) = \frac{1}{cos(x)}, n=4 [/mm]
Tipp: Man kann die Taylor-Formel von [mm] \frac{1}{1 + X}[/mm] für geeignetes [mm] X [/mm] benutzen. |
so, ich scheitere hier an dem "Tipp". Ich habe jetzt ewig versucht, den Nenner in eine Form der Art [mm] {1 + X}[/mm] zu bringen, aber alles was mir dazu einfällt ist [mm] cos(x) = \sqrt{1-sin^2(x)[/mm] - allerdings sehe ich nicht, wie mir das auch nur annähernd weiterhelfen könnte.
hat vielleicht jemand einen Tipp zum "Tipp"  ??
ich habe die frage in keinem forum auf einer anderen internetseite gestellt.
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Hallo GB,
> Geben Sie die Taylor-Formel n-ter Ordnung für f bei 0 an.
> [mm]f(x) = \frac{1}{cos(x)}, n=4[/mm]
>
> Tipp: Man kann die Taylor-Formel von [mm]\frac{1}{1 + X}[/mm] für
> geeignetes [mm]X[/mm] benutzen.
> so, ich scheitere hier an dem "Tipp". Ich habe jetzt ewig
> versucht, den Nenner in eine Form der Art [mm]{1 + X}[/mm] zu
> bringen, aber alles was mir dazu einfällt ist [mm]cos(x) = \sqrt{1-sin^2(x)[/mm]
> - allerdings sehe ich nicht, wie mir das auch nur annähernd
> weiterhelfen könnte.
> hat vielleicht jemand einen Tipp zum "Tipp" ??
Vllt. geht's so:
Es ist ja [mm] $\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k$ [/mm] für $|x|<1$, also
[mm] $\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-x)^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k$ [/mm] für $|x|<1$
Dann ist [mm] $\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{1+(\cos(x)-1)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] .... $ - was und für welche x?
>
> ich habe die frage in keinem forum auf einer anderen
> internetseite gestellt.
LG
schachuzipus
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Genau zu diesem Thema hab ich noch eine Frage:
sin und cos kann ich ja durch unendliche Summen gut apptoximieren.
Meine Frage ist, ob ich in dem Taylorpolynom 4. Grades sin oder cos stehenlasse, oder ob ich auch in diesen unendlichen Summen x mit zu großem Exponenten weglassen muss, um aufs Taylorpolynom zu kommen.
z.B. ist [mm] ln(1+cosx) = \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \bruch{cos(x)^{k}}{k} [/mm], mit $cos(x) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (-1)^{2k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}$.
[/mm]
Ist jetzt [mm] $T_4(x) [/mm] = cos(x) - [mm] \bruch{cos(x)^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{cos(x)^3}{3} [/mm] - [mm] \bruch{cos(x)^4}{4}$ [/mm] schon das Taylor-Polynom, oder muss ich erst noch von cos(x) x mit zu großen Koeffizienten weglassen?
Danke im Voraus!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mo 18.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hi
>
> Vllt. geht's so:
>
> Es ist ja [mm]\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k[/mm] für
> [mm]|x|<1[/mm], also
>
> [mm]\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-x)^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k[/mm]
> für [mm]|x|<1[/mm]
>
> Dann ist
> [mm]\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{1+(\cos(x)-1)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} ....[/mm]
> - was und für welche x?
>
also,
[mm]\frac{1}{1+(\cos(x)-1)}= \frac{1}{1-(1-cos(x))} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (1-cos(x))^k[/mm]
dabei muss gelten [mm] cos(x) \ne 0[/mm], da |X| < 1 gelten muss
ist das soweit korrekt? und wie würde ich da weiter machen? habe bisher taylor-formeln immer über diese ableitungssache aufgestellt, also die funktion n-mal ableiten und jeweils den funktionswert des punktes berechnet, in die taylor formel eingesetzt und gut.
denn - sofern meine rechnerei richtig ist - setze ich hier [mm]x_0 = 0 [/mm] ein, kommt ja immer 0 raus...? *help*
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Hallo,
sry, hab da total verrafft, dass die Summe eben nicht 0 werden darf...
Die Mitteilung war daher mächtig sinnfrei...
Sorry!
lg Kai
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Hallo nochmal,
> hi
> >
> > Vllt. geht's so:
> >
> > Es ist ja [mm]\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k[/mm] für
> > [mm]|x|<1[/mm], also
> >
> > [mm]\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-x)^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^k[/mm]
> > für [mm]|x|<1[/mm]
> >
> > Dann ist
> >
> [mm]\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{1+(\cos(x)-1)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} ....[/mm]
> > - was und für welche x?
> >
>
> also,
> [mm]\frac{1}{1+(\cos(x)-1)}= \frac{1}{1-(1-cos(x))} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (1-cos(x))^k[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Reihe sieht gut aus, aber beim Konvergenzbereich ist was im Argen
>
> dabei muss gelten [mm]cos(x) \ne 0[/mm], da |X| < 1 gelten muss ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für Konvergenz und damit für die obige Darstellung von $f(x)$ als Reihe muss [mm] $|1-\cos(x)|=|\cos(x)-1|<1$ [/mm] sein (siehe geometr. Reihe)
Also [mm] $\cos(x)$ [/mm] näher an 1 als 1, also [mm] $0<\cos(x)<2$, [/mm] dh. [mm] $\cos(x)>0$
[/mm]
Also für [mm] $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$
[/mm]
>
> ist das soweit korrekt? und wie würde ich da weiter machen?
> habe bisher taylor-formeln immer über diese ableitungssache
> aufgestellt, also die funktion n-mal ableiten und jeweils
> den funktionswert des punktes berechnet, in die taylor
> formel eingesetzt und gut.
> denn - sofern meine rechnerei richtig ist - setze ich hier
> [mm]x_0 = 0[/mm] ein, kommt ja immer 0 raus...? *help*
>
>
LG
schachuzipus
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hi
kann mir zufällig jemand sagen, ob mein ergebnis richtig ist?
Aufgabe s.o.
Ergebnis:
[mm] $1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+O(x^5)$[/mm]
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Hallo GreatBritain,
> hi
>
> kann mir zufällig jemand sagen, ob mein ergebnis richtig
> ist?
>
> Aufgabe s.o.
>
> Ergebnis:
> [mm]1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+O(x^5)[/mm]
Ja. das stimmt.
Gruß
MathePower
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