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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:44 So 26.03.2006 | | Autor: | Strenni |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die durch f(x) = arctan(x) gegebene Funktion an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = 0 in ihr Taylor-Polynom dritten Grades [mm] P_{3}(x).
[/mm]
Berechnen Sie mit [mm] P_{3}(\bruch{1}{2}) [/mm] eine Näherung für [mm] arctan(\bruch{1}{2}) [/mm] und bestimmen Sie den dabei auftretenden relativen Fehler |
Hallo zusammen,
ich bin momentan bei der Prüfungsvorbereitung und habe noch ein paar Probleme mit dem Taylor-Polynom. Die oben geschilderte Aufgabe hab ich jetzt soweit berechnet, würde sie aber gern gegenchecken lassen, ob meine Vorgehensweise korrekt ist.
Abschließend habe ich noch ein paar grundsätzliche Fragen zur Berechnung des Taylor-Polynoms. Aber alles der Reihe nach... ;)
Zu meiner Berechnung:
Zunächst bilde ich die ersten drei Ableitungen von f(x) = arctan(x) und errechne den jeweiligen Funktionswert für [mm] x_{0} [/mm] = 0:
f(x) = arctan(x) [mm] \Rightarrow f(x_{0} [/mm] = 0) = 0
f'(x) = [mm] \bruch{1}{1 + x^{2}} \Rightarrow f'(x_{0} [/mm] = 0) = 1
f''(x) = [mm] \bruch{-2x}{(1 + x^{2})^{2}} \Rightarrow f''(x_{0} [/mm] = 0) = 0
f'''(x) = [mm] \bruch{6x^{2}-2}{(1 + x^{2})^{3}} \Rightarrow f'''(x_{0} [/mm] = 0) = (-2)
Die errechneten Werte setze ich nun in die allgemeine Formel ein:
[mm] T_{n}(x) [/mm] = f(a) + [mm] \bruch{f'(a)}{1!} [/mm] (x-a) + [mm] \bruch{f''(a)}{2!} (x-a)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{f'''(a)}{3!} (x-a)^{3}
[/mm]
in meinem Fall also:
[mm] P_{3}(x) [/mm] = f(0) + [mm] \bruch{f'(0)}{1!} [/mm] (x-0) + [mm] \bruch{f''(0)}{2!} (x-0)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{f'''(0)}{3!} (x-0)^{3}
[/mm]
[mm] P_{3}(x) [/mm] = 0 + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] (x) + [mm] \bruch{0}{2!} (x)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{(-2)}{3!} (x)^{3}
[/mm]
[mm] P_{3}(x) [/mm] = x - [mm] \bruch{1}{3} x^{3}
[/mm]
Meine Frage: Ist das jetzt schon meine Lösung für die 1. Teilaufgabe, also die Berechnung des Taylor-Polynom dritten Grades [mm] P_{3}(x), [/mm] oder muss ich noch x=0 in die Gleichung einsetzen?
Für die Näherung bei [mm] arctan(\bruch{1}{2}) [/mm] setz ich doch jetzt einfach nur, in meine vorher gefundene Gleichung, für [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] ein, oder?
Also: [mm] P_{3}(x=\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{(1)}{3!} (\bruch{1}{2})^{3} [/mm] = [mm] 0,458\overline{3}
[/mm]
und vergleiche es mit dem genauen Wert von [mm] arctan(\bruch{1}{2}) \approx [/mm] 0,463647609...
woraus sich ein relativer Fehler von: [mm] F_{relativ} [/mm] = [mm] \bruch{0,458\overline{3}}{0,463647609} \approx [/mm] 1,1% ergibt.
Passt das soweit? Wenn nicht, wo liegen meine Fehler?
Jetzt meine allgemeinen Fragen:
1.) Wenn ich den Konvergenzradius der Funktion arctan(x) bestimmen will, was ja noch eine Zusatzaufgabe sein könnte, benötige ich eine allgemeine Ableitungsfolge [mm] f^{(k)}. [/mm] Wie komme ich speziell in diesem Fall auf eine besagte allg. Ableitungsfolge? Für mich ergibt sich irgendwie kein erkennbares Muster...
Lediglich die Funktionswerte von [mm] x_{0} [/mm] = 0 könnten auf ein Muster schließen lassen (0, 1, 0, -2,... vielleicht geht's dann so weiter 0, 3, 0, -4, 0, ...). Aber gibt's da irgendwie eine bestimmte Methode, wie man prinzipiell auf allg. Ableitungsfolgen kommen kann?
2.) Gibt es noch eine andere Methode, auf den Konvergenzradius zu schließen?
Bisher habe ich stets: [mm] \vmat{ \bruch{a_{k+1}}{a_{k}}} \le [/mm] q [mm] \le [/mm] < 1 benutzt, aber wie gesagt, da brauche ich ja eine allg. Ableitungsfolge, um auf [mm] a_{k} [/mm] zu kommen.
3.) Und wie schaut es mit einem eventuellen Restglied aus? Wenn ich für [mm] P_{3}(x) [/mm] das Restglied bestimmen soll, ist es ja:
[mm] R_{4} [/mm] = [mm] \bruch{f^{(4)}(x) \* (x-x_{0})^{4}}{4!}
[/mm]
wenn mich nicht alles täuscht und ich es richtig verstanden habe, oder? Weil bei mir im Tafelwerk und im Vorlesungsskript Xi, statt x steht. Muss ich hier eventuell noch etwas beachten? Denn eigentlich ist das Restglied ja demnach einfach nur noch eine weitere Ableitung und die Linearisierung nach dem vorherigen Schema...
Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt und es ist alles nachvollziehbar, was ich meine.
Schonmal herzlichen Dank, für's Durchfriemeln durch meinen Text. Ist dann doch etwas mehr geworden, als es eigentlich sein sollte... sorry dafür, aber ich wollte nicht extra noch einen weiteren Strang eröffnen.
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Hallo,
> Entwickeln Sie die durch f(x) = arctan(x) gegebene Funktion
> an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] = 0 in ihr Taylor-Polynom dritten
> Grades [mm]P_{3}(x).[/mm]
> Berechnen Sie mit [mm]P_{3}(\bruch{1}{2})[/mm] eine Näherung für
> [mm]arctan(\bruch{1}{2})[/mm] und bestimmen Sie den dabei
> auftretenden relativen Fehler
> Hallo zusammen,
>
> ich bin momentan bei der Prüfungsvorbereitung und habe noch
> ein paar Probleme mit dem Taylor-Polynom. Die oben
> geschilderte Aufgabe hab ich jetzt soweit berechnet, würde
> sie aber gern gegenchecken lassen, ob meine Vorgehensweise
> korrekt ist.
> Abschließend habe ich noch ein paar grundsätzliche Fragen
> zur Berechnung des Taylor-Polynoms. Aber alles der Reihe
> nach... ;)
>
> Zu meiner Berechnung:
>
> Zunächst bilde ich die ersten drei Ableitungen von f(x) =
> arctan(x) und errechne den jeweiligen Funktionswert für
> [mm]x_{0}[/mm] = 0:
>
> f(x) = arctan(x) [mm]\Rightarrow f(x_{0}[/mm] = 0) = 0
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{1 + x^{2}} \Rightarrow f'(x_{0}[/mm] =
> 0) = 1
>
> f''(x) = [mm]\bruch{-2x}{(1 + x^{2})^{2}} \Rightarrow f''(x_{0}[/mm]
> = 0) = 0
>
> f'''(x) = [mm]\bruch{6x^{2}-2}{(1 + x^{2})^{3}} \Rightarrow f'''(x_{0}[/mm]
> = 0) = (-2)
>
>
> Die errechneten Werte setze ich nun in die allgemeine
> Formel ein:
>
> [mm]T_{n}(x)[/mm] = f(a) + [mm]\bruch{f'(a)}{1!}[/mm] (x-a) +
> [mm]\bruch{f''(a)}{2!} (x-a)^{2}[/mm] + [mm]\bruch{f'''(a)}{3!} (x-a)^{3}[/mm]
>
> in meinem Fall also:
>
> [mm]P_{3}(x)[/mm] = f(0) + [mm]\bruch{f'(0)}{1!}[/mm] (x-0) +
> [mm]\bruch{f''(0)}{2!} (x-0)^{2}[/mm] + [mm]\bruch{f'''(0)}{3!} (x-0)^{3}[/mm]
>
> [mm]P_{3}(x)[/mm] = 0 + [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] (x) + [mm]\bruch{0}{2!} (x)^{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{(-2)}{3!} (x)^{3}[/mm]
>
> [mm]P_{3}(x)[/mm] = x - [mm]\bruch{1}{3} x^{3}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Meine Frage: Ist das jetzt schon meine Lösung für die 1.
> Teilaufgabe, also die Berechnung des Taylor-Polynom dritten
> Grades [mm]P_{3}(x),[/mm] oder muss ich noch x=0 in die Gleichung
> einsetzen?
Nein, musst du nicht. Du hast den Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] gegeben und a ist bei dir gerade dieses [mm] x_{0}.
[/mm]
>
>
> Für die Näherung bei [mm]arctan(\bruch{1}{2})[/mm] setz ich doch
> jetzt einfach nur, in meine vorher gefundene Gleichung, für
> [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] ein, oder?
>
> Also: [mm]P_{3}(x=\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{(1)}{3!} (\bruch{1}{2})^{3}[/mm] = [mm]0,458\overline{3}[/mm]
Korrekt!
>
> und vergleiche es mit dem genauen Wert von
> [mm]arctan(\bruch{1}{2}) \approx[/mm] 0,463647609...
Bekomme ich auch.
>
> woraus sich ein relativer Fehler von: [mm]F_{relativ}[/mm] =
> [mm]\bruch{0,458\overline{3}}{0,463647609} \approx[/mm] 1,1%
> ergibt.
>
> Passt das soweit? Wenn nicht, wo liegen meine Fehler?
Achte auf die Kommastellen oben und unten. Für den Rest habe ich gerade keine Zeit, aber später vielleicht!
>
>
> Jetzt meine allgemeinen Fragen:
> 1.) Wenn ich den Konvergenzradius der Funktion arctan(x)
> bestimmen will, was ja noch eine Zusatzaufgabe sein könnte,
> benötige ich eine allgemeine Ableitungsfolge [mm]f^{(k)}.[/mm] Wie
> komme ich speziell in diesem Fall auf eine besagte allg.
> Ableitungsfolge? Für mich ergibt sich irgendwie kein
> erkennbares Muster...
> Lediglich die Funktionswerte von [mm]x_{0}[/mm] = 0 könnten auf ein
> Muster schließen lassen (0, 1, 0, -2,... vielleicht geht's
> dann so weiter 0, 3, 0, -4, 0, ...). Aber gibt's da
> irgendwie eine bestimmte Methode, wie man prinzipiell auf
> allg. Ableitungsfolgen kommen kann?
>
> 2.) Gibt es noch eine andere Methode, auf den
> Konvergenzradius zu schließen?
> Bisher habe ich stets: [mm]\vmat{ \bruch{a_{k+1}}{a_{k}}} \le[/mm]
> q [mm]\le[/mm] < 1 benutzt, aber wie gesagt, da brauche ich ja eine
> allg. Ableitungsfolge, um auf [mm]a_{k}[/mm] zu kommen.
>
> 3.) Und wie schaut es mit einem eventuellen Restglied aus?
> Wenn ich für [mm]P_{3}(x)[/mm] das Restglied bestimmen soll, ist es
> ja:
>
> [mm]R_{4}[/mm] = [mm]\bruch{f^{(4)}(x) \* (x-x_{0})^{4}}{4!}[/mm]
>
> wenn mich nicht alles täuscht und ich es richtig verstanden
> habe, oder? Weil bei mir im Tafelwerk und im
> Vorlesungsskript Xi, statt x steht. Muss ich hier eventuell
> noch etwas beachten? Denn eigentlich ist das Restglied ja
> demnach einfach nur noch eine weitere Ableitung und die
> Linearisierung nach dem vorherigen Schema...
>
>
> Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt und es
> ist alles nachvollziehbar, was ich meine.
> Schonmal herzlichen Dank, für's Durchfriemeln durch meinen
> Text. Ist dann doch etwas mehr geworden, als es eigentlich
> sein sollte... sorry dafür, aber ich wollte nicht extra
> noch einen weiteren Strang eröffnen.
Viele Grüße
Daniel
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Hallo,
dann machen wir mal weiter!
> Jetzt meine allgemeinen Fragen:
> 1.) Wenn ich den Konvergenzradius der Funktion arctan(x)
> bestimmen will, was ja noch eine Zusatzaufgabe sein könnte,
> benötige ich eine allgemeine Ableitungsfolge [mm]f^{(k)}.[/mm] Wie
> komme ich speziell in diesem Fall auf eine besagte allg.
> Ableitungsfolge? Für mich ergibt sich irgendwie kein
> erkennbares Muster...
> Lediglich die Funktionswerte von [mm]x_{0}[/mm] = 0 könnten auf ein
> Muster schließen lassen (0, 1, 0, -2,... vielleicht geht's
> dann so weiter 0, 3, 0, -4, 0, ...). Aber gibt's da
> irgendwie eine bestimmte Methode, wie man prinzipiell auf
> allg. Ableitungsfolgen kommen kann?
Du kannst doch die Reihe allg. angeben. Das wäre dann
[mm] f(x)=x-\bruch{x^{3}}{3}+\bruch{x^{5}}{5}-\bruch{x^{7}}{7}+-...
[/mm]
Wie sieht das also in Reihenform aus?
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
Nun sollte auch klar sein, für welche Werte das konvergiert. Genau, für [mm] |x|\le1.
[/mm]
>
> 2.) Gibt es noch eine andere Methode, auf den
> Konvergenzradius zu schließen?
> Bisher habe ich stets: [mm]\vmat{ \bruch{a_{k+1}}{a_{k}}} \le[/mm]
> q [mm]\le[/mm] < 1 benutzt, aber wie gesagt, da brauche ich ja eine
> allg. Ableitungsfolge, um auf [mm]a_{k}[/mm] zu kommen.
Ja, man kann mit dem Quotienten- oder Wurzelkrietrium ein q bestimmen und dann mit dem Satz von Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius bestimmen. Beschrieben findest du das z.B. im Königsberger (Analysis 1) oder zahlreich im Internet.
>
> 3.) Und wie schaut es mit einem eventuellen Restglied aus?
> Wenn ich für [mm]P_{3}(x)[/mm] das Restglied bestimmen soll, ist es
> ja:
>
> [mm]R_{4}[/mm] = [mm]\bruch{f^{(4)}(x) \* (x-x_{0})^{4}}{4!}[/mm]
>
> wenn mich nicht alles täuscht und ich es richtig verstanden
> habe, oder? Weil bei mir im Tafelwerk und im
> Vorlesungsskript Xi, statt x steht. Muss ich hier eventuell
> noch etwas beachten? Denn eigentlich ist das Restglied ja
> demnach einfach nur noch eine weitere Ableitung und die
> Linearisierung nach dem vorherigen Schema...
Stimmt. Dein [mm] x_{0} [/mm] ist wieder gleich null und dann kannst du das Restgleid ausrechnen. Das Restglied kann man auf verschiedene Arten bestimmen. Bekannt ist die Integraldarstellung.
Man bekommt dann als Restglied [mm] R_{n}(x)=\bruch{1}{n!}\integral_{a}^{b}{(x-t)^{n}f^{n+1}(t) dt}.
[/mm]
Dieses lässt sich i.A. nicht ausrechnen, da eine Variable t die Integrationsvariable ist, über wir erst mal nix wissen. Theoretisch müsste das Restglied immer mit angegeben werden, da diese Taylorreihen nunmal nur Approximationen sind!
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> Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt und es
> ist alles nachvollziehbar, was ich meine.
> Schonmal herzlichen Dank, für's Durchfriemeln durch meinen
> Text. Ist dann doch etwas mehr geworden, als es eigentlich
> sein sollte... sorry dafür, aber ich wollte nicht extra
> noch einen weiteren Strang eröffnen.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 So 26.03.2006 | | Autor: | Strenni |
Herzlichen Dank mathmetzsch, ich bin restlos begeistert! :)
Dann lieg ich wohl doch gar nicht soo schlecht mit meinem Taylor-Polynom-Wissen, lediglich das Folgen-Finden wird sicherlich noch ein kleines Problem bleiben. Aber da wird sich bestimmt auch noch eine gewisse Routine einstellen.
Also nochmal herzlichen Dank für Deine ausführlichen Antworten!
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