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| Aufgabe | Gegeben Sei die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} exp(\bruch{-1}{x^2}), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x\le 0 \end{cases}
[/mm]
a) Geben Sie die Taylor-Reihe von f in dem Entwicklungspunkt 0 an.
b) Für welche [mm] x\in \IR [/mm] konvergiert [mm] {T^0}f(x) [/mm] gegen f(x)? |
Hallo,
hab ein paar Probleme mit dieser Aufgabe. Ich weiß nicht bis zu welchem Grad ich f annähern soll, oder soll das quasi unendlich genau angenähert werden? Wäre dankbar für einen kleinen Ansatz.
mfg
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> Gegeben Sei die Funktion
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> [mm]f(x)=\begin{cases} exp(\bruch{-1}{x^2}), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x\le 0 \end{cases}[/mm]
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> a) Geben Sie die Taylor-Reihe von f in dem
> Entwicklungspunkt 0 an.
> b) Für welche [mm]x\in \IR[/mm] konvergiert [mm]{T^0}f(x)[/mm] gegen f(x)?
> Hallo,
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> hab ein paar Probleme mit dieser Aufgabe. Ich weiß nicht
> bis zu welchem Grad ich f annähern soll, oder soll das
> quasi unendlich genau angenähert werden?
a) Du wirst in Teilaufgabe b) sehen, dass die Annäherung an $f$ für $x>0$ nicht gerade gut sein kann 
Ich bin der Meinung, dass alle Ableitungen von $f$ an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] verschwinden. Denn es ist jedenfalls für $x>0$ doch [mm] $f^{(n)}(x)=p(x)\cdot\exp(-1/x^2)$ [/mm] also [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+} f^{(n)}(x)=0$. [/mm] Dabei ist $p(x)$ eine rationale Funktion von $x$, die durch den für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$ extrem schnell gegen $0$ gehenden Faktor [mm] $\exp(-1/x^2)$ [/mm] gegen $0$ gedrückt wird. Wie $p(x)$ genau aussieht, brauchen wir deshalb nicht zu wissen.
b) Die Taylorreihe konvergiert für alle $x$ (gegen 0), aber für $x>0$ ist dies natürlich nicht der Wert von $f(x)$.
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Hallo, erstmal vielen Dank für die Antwort. Ich hab bin allerdings jetzt auf folgendes Problem gestoßen:
Wenn ich in die Standard-Formel der Taylor-Reihe [mm] T^{a}f(x)=\summe_{k\ge 0}^{}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k [/mm] meine "Werte" einsetze,
[mm] (f^{(k)} [/mm] ist ja quasi [mm] exp(-\bruch{1}{x^2}), [/mm] da das p(x) vernachlässigt werden kann und a ist =0, also der Entwicklungspunkt), dann erhalte ich
[mm] T^{0}f(x)=\summe_{k\ge 0}^{}\bruch{exp(-\bruch{1}{0^2})}{k!}(x-0)^k [/mm]
" = [mm] \summe_{k\ge 0}^{}\bruch{exp(-\infty)}{k!}*x^k=\summe_{k\ge 0}^{}\bruch{0}{k!}*x^k =\summe_{k\ge 0}^{}0*x^k [/mm] = 0 " das letzte hab ich in Anführungsstrichen geschrieben, weils ichs mir so nicht vorstellen kann, also ich denke nicht, dass f(x) für jedes x mit der Nullfunktion übereinstimmt (Gegenbeispiel x=1). Aber welchen (bzw. welche) Fehler hab ich da gemacht?
Vielen Dank schon mal im Voraus.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm](f^{(k)}[/mm] ist ja quasi [mm]exp(-\bruch{1}{x^2}),[/mm] da das p(x)
> vernachlässigt werden kann
Da hast du was mißverstanden, es ist [mm] $$f^{(k)}(x)=\begin{cases}p(x)\cdot\exp(\frac{-1}{x^2})&\text{für x>0}\\0&\text{für } x\le0\end{cases}$$ [/mm] wobei p(x) irgend eine rationale Funktion ist. Das ist nicht trivial, Somebody hat oben angedeutet warum das so ist, die Frage warum genau [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}f^{(n)}(x)=0$ [/mm] ist, hat er natürlich offen gelassen damit du auch noch was zu tun hast.
Jedenfalls ist nun [mm] $f^{(k)}(0)=0$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] und damit ist die Taylorreihe einfach konstant 0. An diesem Beispiel wird deutlich dass die Taylorreihe eben nicht unbedingt gegen die Funktion die sie approximiert konvergiert.
Man hätte auch [mm] $$g(x):=\begin{cases}\exp(\frac{-1}{x^2})&\text{für }x\in\IR\setminus\{0\}\\0&\text{für }x=0\end{cases}$$ [/mm] betrachten können, das ist das gleiche Prinzip, und da stimmt die Taylorentwicklung um den Punkt 0 an keiner Stelle außer der Entwicklungsstelle mit der Funktion überein (!).
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