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Taylor-Reihe: max. Fehler für sin0.5 = b
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Di 21.04.2009
Autor: carlosfritz

Aufgabe
f(x)=sin(x). Man gebe die Taylorsche Formel mit Restglied  für f bei Entwicklung um den Punkt [mm] x_{0}=0 [/mm] an und berechne damit den Wert von sin(0.5) bis auf einen Fehler von max. [mm] 0.5*10^{-4} [/mm]

Hallo,
Die Taylor-Reihe aufstellen ist kein Problem, genau wie das Restglied.

Meine Idee ist folgende:

Das Restglied [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{f(\beta)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] * [mm] x^{n+1} [/mm] wird maximal, wenn a.) die n+1 Ableitung von sinus = cosinus ist, da [mm] 0<\beta b.) [mm] \beta [/mm] am größten ist

Nun hätte ich

[mm] \bruch{cos(\beta)}{(n+1)!} [/mm] * [mm] (0.5)^{n+1} \le 0.5*10^{-4} [/mm]

Ferner gilt:


[mm] \bruch{cos(\beta)}{(n+1)!} [/mm] * [mm] (0.5)^{n+1} \le 0.5*10^{-4} [/mm] mit [mm] \beta [/mm] = [mm] 0.5*10^{-4} [/mm]

Dann habe ich:


[mm] \bruch{ (0.5)^{n+1}}{(n+1)!} \le \bruch{0.5*10^{-4}}{cos(\beta)} [/mm]

Wie komme ich nun an n ran ohne das auszuprobieren?

Oder kann es eher sein, dass der Weg komplett falsch ist?

Gruß und schonmal Danke für die Hilfen :)

        
Bezug
Taylor-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Mi 22.04.2009
Autor: leduart

Hallo
Du hattest  geschrieben, dass [mm] cos(\beta) [/mm]  bei [mm] \beta=0.5 [/mm] am groessten ist.
das ist falsch [mm] cos(0)=1>cos(\beta) [/mm] fuer alle [mm] \beta \in [/mm] (0,0.5]
die Ungleichung gilt nicht, sondern du willst ein n finden, so dass sie gilt. also setze das schlimmst moegliche [mm] \beta [/mm]  aus dem Intervall ein also [mm] cos(\beta)=1 [/mm]

>$ [mm] \bruch{cos(\beta)}{(n+1)!} [/mm] $ * $ [mm] (0.5)^{n+1} \le >0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] $ mit $ [mm] \beta [/mm] $ = $ [mm] 0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] $
wie du hier auf $ [mm] \beta [/mm] $ = $ [mm] 0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] kommst ist mir schleierhaft.
es gilt sicher in dem betrachteten Intervall

$ [mm] \bruch{cos(\beta)}{(n+1)!} [/mm] $ * $ [mm] (0.5)^{n+1} \le \bruch{1}{(n+1)!}*(0.5)^{n+1} [/mm] $

das jetzt kleiner  [mm] 0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] setzen und n ausrechnen.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Taylor-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 Mi 22.04.2009
Autor: carlosfritz

Hallo und vielen Dank nochmals.

Was mich da geritten hat, wieso ich nicht sage, dass mein Restglied am größten ist, wenn [mm] \beta [/mm] = 0 ist, kann ich auch nicht mehr sagen; evtl mit sinus vertauscht???

okay, das ist nun klar.

Was noch unklar ist:

[mm] (0.5)^{n+1} \le \bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1} [/mm] ist das links nicht sogar echt kleiner, da nach dem Lagrange Restglied gilt [mm] 0<\beta
[mm] 0.5\cdot{}10^{-4} [/mm] < [mm] \bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1} [/mm]

das dies gilt erschließt sich mir auch. Aber wie komme ich an das n ran?

Ich weiss nicht, wie ich mit dem (n+1)! umgehe. Kannst du mir da einen Tip geben?

Bezug
                        
Bezug
Taylor-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:04 Mi 22.04.2009
Autor: leduart

Hallo
>  
> Was noch unklar ist:
>  
> [mm](0.5)^{n+1} \le \bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1}[/mm] ist das

das ist einfach falsch fuer alle n>0

> links nicht sogar echt kleiner, da nach dem Lagrange
> Restglied gilt [mm]0<\beta
> abgeschrieben und es gilt [mm]0\le\beta\le[/mm] x ?

soweit ich mich erinnere ist das [mm] \le [/mm] kann mich aber irren.

> [mm]0.5\cdot{}10^{-4}[/mm] < [mm]\bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1}[/mm]

du willst doch das umgekehrte!
[mm]0.5\cdot{}10^{-4}[/mm] < [mm]\bruch{1}{(n+1)!}\cdot{}(0.5)^{n+1}[/mm]

> das dies gilt erschließt sich mir auch. Aber wie komme ich
> an das n ran?
>  
> Ich weiss nicht, wie ich mit dem (n+1)! umgehe. Kannst du
> mir da einen Tip geben?

ich wuerde durch 0.5 teilen, dann log anwenden
-4=n*log0.5-log((n+1)!)
log(n+1)!=log(n+1)+log(n)+...log1
(log zur Basis 10)
Dann einfach ein paar Werte fuer n  einsetzen.
kannst du aber auch direkt in die Anfangsformel.
Besseres faellt mir grad nicht ein, aber du musst wohl nur 4 5 und 6 einsetzen.
Gruss leduart

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