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| Aufgabe | [mm] f(x)=\wurzel{cos(x)}, x_0=0, [/mm] n=5
Es soll die das Taylor-Polynom n-ter Ordnung der Funktion f mit Entwicklungspunkt [mm] c_0 [/mm] berechnet werden. |
Wie geht man denn hier am besten vor?
Also mir ist klar, dass ich es über f(0)+f'(0)x+1/2 f''(0)x² .... machen kann.
Allerdings wurde uns als Tipp zu dieser Aufgabe gesagt, wie sollen es mal so mit dem Trick aus der Vorlesung versuchen.
Leider konnte ich in der Vorlesung nicht anwesend sein.
Weiß vllt einer von euch, welche Trick hier gemeint sein kann?
Wird vllt die schon bekannte Taylorreihe vom cos(x) nur etwas modifiziert?
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> [mm]f(x)\,=\,\wurzel{cos(x)}\,,\ x_0=0\,,[/mm] n=5
> Es soll das Taylor-Polynom n-ter Ordnung der Funktion
> f mit Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] berechnet werden.
Hallo xtraxtra,
ich könnte mir vorstellen, dass man für das gesuchte
Polynom den Ansatz
[mm] T_5(x)=a+b*x+c*x^2+\,.......\,+f*x^5
[/mm]
macht, dies (mit einigem Aufwand zwar) mit sich
selber multipliziert und dann Koeffizientenvergleich
mit der bekannten Cosinusreihe macht. So kann
man die Koeffizienten der Reihe nach berechnen.
Ich würde aber z.B. a, b und c doch zuerst via
Ableitungen bestimmen, um die Anzahl der Unbe-
kannten gleich zu halbieren.
LG Al-Chw.
Vereinfachung:
Da die Cosinusfunktion und folglich auch f eine
gerade Funktion ist, kann man sofort sagen, dass
b=d=f=0 sein muss. Für das Taylorpolynom fünfter
Ordnung bleibt also einzig übrig:
[mm] $\blue{T_5(x)\ =\ a+c*x^2+e*x^4}$
[/mm]
Offensichtlich ist auch noch [mm] $\blue{a=1}$ [/mm] , also
[mm] $\blue{T_5(x)\ =\ 1+c*x^2+e*x^4}$
[/mm]
und damit
[mm] $\blue{(T_5(x))^2\ =\ \left(1+c*x^2+e*x^4\right)^2}$
[/mm]
[mm] $\blue{=1+2*c*x^2+(c^2+2*e)*x^4+2*c*e*x^6+e^2*x^8}$
[/mm]
Dies kann man nun dem Anfang der Cosinusreihe
gegenüberstellen:
[mm] $\blue{cos(x)\ =\ 1\,-\,\bruch{x^2}{2\,!}\,+\,\bruch{x^4}{4\,!}\,-\,\bruch{x^6}{6\,!}+\,.......}$
[/mm]
[mm] $\blue{=\ 1\,-\,\bruch{x^2}{2}\,+\,\bruch{x^4}{24}\,-\,\bruch{x^6}{720}+\,.......}$
[/mm]
Koeffizientenvergleich zeigt:
[mm] $\blue{2*c\ =\ -\,\bruch{1}{2}$ , also $\blue{c\ =\ -\,\bruch{1}{4}}}$
[/mm]
[mm] $\blue{c^2+2*e\ =\ \bruch{1}{24}$ , also $\blue{e=\bruch{\bruch{1}{24}\,-\,\bruch{1}{16}}{2}\ =\ -\,\bruch{1}{96}}}$
[/mm]
Hinweis: beim Glied mit [mm] $\blue{x^6}$ [/mm] stimmt der Koeffizienten-
vergleich nicht, da man dazu t als Polynom 6. Ordnung
ansetzen müsste.
Damit haben wir die Lösung:
[mm] $\bf{\blue{T_5(x)\ =\ 1\,-\,\bruch{x^2}{4}\,-\,\bruch{x^4}{96}}}$ [/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 21.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Vielen Dank schonmal. Ein Studienkollege hat mir jetzt gesagt, dass man es so machen kann:
[mm] f(x)=\wurzel{cos(x)}
[/mm]
=> f²(x)=cos(x)
Und das kann man dann 5 mal ableiten....
Ist das mathematisch korrekt?
Ich hab da dann auch noch gleich eine andere Frage:
Aufgabe:
Man entwickelt das Polynom
f(x)=x³+3x²-2x+4
nach Potenzen von x+1.
Ich verstehe diese Aufgabenstellung nicht. Mein Problem ist also ich weiß nicht was hier gefragt ist. Kann mir dass vielleich jemand in "deutsch" übersetzten?
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Ein Beispiel: Denk dir [mm]y=(x+1)[/mm] als Parameter und [mm]f(x)=x^2 + 2x +1[/mm] gegeben. Gesucht wäre dann die Funktion [mm]g(y)=f(x)[/mm], hier natürlich
[mm]y^2=x^2 + 2x +1[/mm]
Jetzt klar?
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> Ein Beispiel: Denk dir [mm]y=(x+1)[/mm] als Parameter und [mm]f(x)=x^2 + 2x +1[/mm]
> gegeben. Gesucht wäre dann die Funktion [mm]g(y)=f(x)[/mm], hier
> natürlich
> [mm]y^2=x^2 + 2x +1[/mm]
>
> Jetzt klar?
Sorry,
aber diese Antwort würde mich mehr verwirren
als aufklären ...
Gruß Al-Ch.
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> Ein Studienkollege hat mir jetzt
> gesagt, dass man es so machen kann:
> [mm]f(x)=\wurzel{cos(x)}[/mm]
> => f²(x)=cos(x)
> Und das kann man dann 5 mal ableiten....
> Ist das mathematisch korrekt?
Wenn man den Tipp richtig versteht und umsetzt: Ja.
> Ich hab da dann auch noch gleich eine andere Frage:
> Aufgabe:
> Man entwickle das Polynom
> f(x)=x³+3x²-2x+4
> nach Potenzen von x+1.
Dies bedeutet:
Gesucht ist die Darstellung von f in der Form:
$\ [mm] f(x)=a*(x+1)^3+b*(x+1)^2+c*(x+1)+d$
[/mm]
Man erhält dies z.B., indem man $\ y:=x+1$,
also $\ x=y-1$ setzt und dann
$\ [mm] f(x)=f(y-1)=(y-1)^3+3(y-1)^2 [/mm] ........ = g(y)$
ausrechnet. Das Polynom g(y) hat die gesuchten
Koeffizienten a,b,c,d.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 So 21.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Also ich habs jetzt so gemacht:
y=x+1 => x=y-1
f(x)=x³+3x²-2x+4=(y-1)³+3(y-1)²-2(y-1)+4=y³+6y²-5y+14
jetzt muss ich ja das y mit x+1 ersetzen und habe dann:
(x+1)³+6(x+1)²-5(x+1)+14 allerdings ist das ja ungleich f(x) ?
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> Also ich habs jetzt so gemacht:
> y=x+1 => x=y-1
> f(x)=x³+3x²-2x+4=(y-1)³+3(y-1)²-2(y-1)+4 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> =y³+6y²-5y+14 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das musst du nochmals rechnen !
> jetzt muss ich ja das y mit x+1 ersetzen und habe dann:
> (x+1)³+6(x+1)²-5(x+1)+14 allerdings ist das ja ungleich f(x) ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 22.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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