Taylor-Reihe bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
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> Und die bekommst Du am einfachsten so:
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> [mm]\bruch{1}{x}= \bruch{1}{x+3-3}=-\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{x+3}{3}}[/mm]
>
> Bei [mm]\bruch{1}{1-\bruch{x+3}{3}}[/mm] denke an die geometrische
> Reihe.
>
> FRED
>
Wie kommst du jetzt darauf ? :-S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > Und die bekommst Du am einfachsten so:
> >
> > [mm]\bruch{1}{x}= \bruch{1}{x+3-3}=-\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{x+3}{3}}[/mm]
>
> >
> > Bei [mm]\bruch{1}{1-\bruch{x+3}{3}}[/mm] denke an die geometrische
> > Reihe.
> >
> > FRED
> >
>
> Wie kommst du jetzt darauf ? :-S
Erfahrung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
:D
Könntest du mir das bitte erklären ?
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Hallo nochmal,
> :D
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> Könntest du mir das bitte erklären ?
Wenn ich es Fred abnehmen darf?
Du kennst sicher die geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm], die für [mm]|q|<1[/mm] den Wert [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] hat.
Und Fred versucht [mm]\frac{1}{x}[/mm] als Wert einer geometrischen Reihe darzustellen, bringt es also in diese Form [mm]\frac{1}{1-q}[/mm]
Da kam er auf [mm]f(x)=\frac{1}{x}=-\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{x+3}{3}}=-\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x+3}{3}\right)^n[/mm]
Dem [mm]q[/mm] entspricht hier dann [mm]\frac{x+3}{3}[/mm] und alles gilt für [mm]|q|=\left|\frac{x+3}{3}\right|<1[/mm], also [mm]|x+3|<3[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
>
> > :D
> >
> > Könntest du mir das bitte erklären ?
>
> Wenn ich es Fred abnehmen darf?
Aber bitte, gern
Gruß FRED
>
> Du kennst sicher die geometrische Reihe
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm], die für [mm]|q|<1[/mm] den Wert
> [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] hat.
>
> Und Fred versucht [mm]\frac{1}{x}[/mm] als Wert einer geometrischen
> Reihe darzustellen, bringt es also in diese Form
> [mm]\frac{1}{1-q}[/mm]
>
> Da kam er auf
> [mm]f(x)=\frac{1}{x}=-\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{x+3}{3}}=-\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x+3}{3}\right)^n[/mm]
>
> Dem [mm]q[/mm] entspricht hier dann [mm]\frac{x+3}{3}[/mm] und alles gilt
> für [mm]|q|=\left|\frac{x+3}{3}\right|<1[/mm], also [mm]|x+3|<3[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hi,
hoffe, das war auch in deinem Sinne erklärt?!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> hoffe, das war auch in deinem Sinne erklärt?!
Na klar. Wenn Du Lust hast, kannst Du ja noch hinzufügen, dass diese Methode mit jedem a [mm] \ne [/mm] 0 funktioniert ( a statt -3)
Gruß FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Also ist die Aufgabe gelöst ?
Vielen Dank ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ist die Aufgabe gelöst ?
Ja
$ [mm] f(x)=-\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x+3}{3}\right)^n [/mm] $
ist die gesuchte Darstellung.
FRED
>
> Vielen Dank ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich habe noch eine kurze Frage. Muss man Aufgaben von diesem Typ immer mit der geometrischen Reihe lösen ? Also wenn eine unendliche Taylor-Reihe gefragt ist...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe noch eine kurze Frage. Muss man Aufgaben von
> diesem Typ immer mit der geometrischen Reihe lösen ? Also
> wenn eine unendliche Taylor-Reihe gefragt ist...?
Nein, natürlich nicht, nur bei bestimmten Typen von Funktionen.
Entwickle mal [mm] \bruch{1}{2+x^2} [/mm] in eine Taylorreihe um 0 (da funktioniert die Methode)
Wenn Du allerdings die Funktion sin(x) in eine T. -Reihe um -8 entwickeln willst, funktioniert die Methode nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
>
> Nein, natürlich nicht, nur bei bestimmten Typen von
> Funktionen.
>
> FRED
>
Was meinst du mit "bestimmten" Typen ? Gibt es auch eine Gruppierung ? Ich weiß immer nicht, wie ich bei diesen Aufgaben vorgehen soll. Ich wäre nie im Leben auf die geometrische Reihe gekommen. Gibt es iwie einen Trick oder so ? Bei f(x)= cos(4x) würde es also auch nicht gehen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
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> >
> > Nein, natürlich nicht, nur bei bestimmten Typen von
> > Funktionen.
> >
>
> > FRED
> >
>
>
> Was meinst du mit "bestimmten" Typen ? Gibt es auch eine
> Gruppierung ? Ich weiß immer nicht, wie ich bei diesen
> Aufgaben vorgehen soll. Ich wäre nie im Leben auf die
> geometrische Reihe gekommen. Gibt es iwie einen Trick oder
> so ? Bei f(x)= cos(4x) würde es also auch nicht gehen ?
Nein.
Ich mach Dir $ [mm] \bruch{1}{2+x^2} [/mm] $ mal vor:
$ [mm] \bruch{1}{2+x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1+\bruch{x^2}{2}}= \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1-(-\bruch{x^2}{2})}= \bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}(-\bruch{x^2}{2})^n= \bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{x^{2n}}{2^n}= \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{x^{2n}}{2^{n+1}}$ [/mm] für [mm] $|x|<\wurzel{2}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Also ich habe das jetzt mit f(x)= cos(4x) an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 ausprobiert und komme komischerweise auf 1. :-S
cos(x) = 1 - [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4!} [/mm] * [mm] x^4 [/mm] - [mm] \bruch{1}{6!} [/mm] * [mm] x^6 [/mm] + ....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe das jetzt mit f(x)= cos(4x) an der Stelle [mm]x_0[/mm]
> = 0 ausprobiert und komme komischerweise auf 1. :-S
1 ? wo ?
>
> cos(x) = 1 - [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] * [mm]x^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{4!}[/mm] * [mm]x^4[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{6!}[/mm] * [mm]x^6[/mm] + ....
Setzt Du oben 4x statt x ein, so bekommst Du die Taylorentwicklung von cos(4x) um 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich komme auf 1- [mm] \bruch{136}{45} x^2
[/mm]
Wo setze ich aber [mm] x_0 [/mm] = 0 ein ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich komme auf 1- [mm]\bruch{136}{45} x^2[/mm]
Unfug !
???? Wie bist Du auf das gekommen ????
>
> Wo setze ich aber [mm]x_0[/mm] = 0 ein ?
Eine Taylorreihe hat die Form
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n.
[/mm]
Ist [mm] x_0=0, [/mm] so hat siw die Gestalt
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
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> cos(x) = 1 - [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] * [mm]x^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{4!}[/mm] * [mm]x^4[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{6!}[/mm] * [mm]x^6[/mm] + ....
Ich habe hier anstelle von x ---> 4x eingesetzt und die Gleichung aufgelöst und komme komischerweise auf das genannte Ergebnis :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mi 27.07.2011 | | Autor: | fred97 |
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> >
> > cos(x) = 1 - [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] * [mm]x^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{4!}[/mm] * [mm]x^4[/mm] -
> > [mm]\bruch{1}{6!}[/mm] * [mm]x^6[/mm] + ....
>
>
> Ich habe hier anstelle von x ---> 4x eingesetzt und die
> Gleichung aufgelöst und komme komischerweise auf das
> genannte Ergebnis :(
Na, na, willst Du mich veralbern ?
Ich komme auf
cos(4x) = 1 - [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] * [mm](4x)^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{4!}[/mm] * [mm](4x)^4[/mm] - [mm]\bruch{1}{6!}[/mm] * [mm](4x)^6[/mm] + .... = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\bruch{16^nx^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
FRED
FRED
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> Hallo nochmal,
>
>
> > :D
> >
> > Könntest du mir das bitte erklären ?
>
> Wenn ich es Fred abnehmen darf?
>
> Du kennst sicher die geometrische Reihe
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm], die für [mm]|q|<1[/mm] den Wert
> [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] hat.
>
> Und Fred versucht [mm]\frac{1}{x}[/mm] als Wert einer geometrischen
> Reihe darzustellen, bringt es also in diese Form
> [mm]\frac{1}{1-q}[/mm]
>
> Da kam er auf
> [mm]f(x)=\frac{1}{x}=-\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{x+3}{3}}=-\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x+3}{3}\right)^n[/mm]
>
> Dem [mm]q[/mm] entspricht hier dann [mm]\frac{x+3}{3}[/mm] und alles gilt
> für [mm]|q|=\left|\frac{x+3}{3}\right|<1[/mm], also [mm]|x+3|<3[/mm]
>
Hier habe ich eine Frage:
$|q|$ soll doch kleiner als 1 sein. [mm]|x+3|<3[/mm] gilt aber doch für kein x [mm] \in \IR. [/mm] Warum stimmt es trotzdem?
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo MatheStudi7,
> > Hallo nochmal,
> >
> >
> > > :D
> > >
> > > Könntest du mir das bitte erklären ?
> >
> > Wenn ich es Fred abnehmen darf?
> >
> > Du kennst sicher die geometrische Reihe
> > [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm], die für [mm]|q|<1[/mm] den Wert
> > [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] hat.
> >
> > Und Fred versucht [mm]\frac{1}{x}[/mm] als Wert einer geometrischen
> > Reihe darzustellen, bringt es also in diese Form
> > [mm]\frac{1}{1-q}[/mm]
> >
> > Da kam er auf
> >
> [mm]f(x)=\frac{1}{x}=-\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{x+3}{3}}=-\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x+3}{3}\right)^n[/mm]
> >
> > Dem [mm]q[/mm] entspricht hier dann [mm]\frac{x+3}{3}[/mm] und alles gilt
> > für [mm]|q|=\left|\frac{x+3}{3}\right|<1[/mm], also [mm]|x+3|<3[/mm]
> >
> Hier habe ich eine Frage:
> [mm]|q|[/mm] soll doch kleiner als 1 sein. [mm]|x+3|<3[/mm] gilt aber doch
> für kein x [mm]\in \IR.[/mm]
Doch! Sogar für ganz viele 
Mal dir das doch am Zahlenstrahl auf oder löse formal den Betrag auf mit Fallunterscheidung ...
[mm]|x-a|
Hier erfüllen also alle [mm]x[/mm] die Ungleichung [mm]|x+3|<3[/mm], die näher an [mm]-3[/mm] liegen als [mm]3[/mm], das sind die [mm]x[/mm] aus dem offenen Intervall [mm](-6,0)[/mm]
> Warum stimmt es trotzdem?
Gruß
schachuzipus
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Hallo Carlo,
kleine Ergänzung:
> Geben Sie die Taylor-Reihe der Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> , x [mm]\in \IR[/mm] ? {0}, an der Entwicklungsstelle [mm]x_0=[/mm] -3 an.
> Ich habe die Ableitungen von der Funktion gebildet, die
> [mm]x_0[/mm] jeweils in die Ableitungen eingesetzt und die
> Ergebnisse in diese Reihe eigesetzt:
>
>
> [mm]f(a)+\bruch{f'(a)}{1!}[/mm] * [mm](x-a)^1[/mm] + [mm]\bruch{f''(a)}{2!}[/mm] *
> [mm](x-a)^2[/mm] + [mm]\bruch{f'''(a)}{3!}[/mm] * [mm](x-a)^3[/mm] +
> [mm]\bruch{f''''(a)}{4!} *(x-a)^4[/mm]
>
> Wie weit muss die Reihe eigentlich gehen ? Ich habs jetzt
> bis zur 4. Stelle gemacht :-S
Das reicht natürlich nicht. Du sollst ja eine unendliche Reihe hinschreiben.
Du musst eine allg. Form für die n-te Ableitung [mm]f^{(n)}(x)[/mm] finden, was nicht allzu schwer ist und deren Gültigkeit mit vollst. Induktion beweisen.
Die allg. Form ist dann an der Stelle [mm]x=-3[/mm] auszuwerten, was dann einen noch einfacheren allg. Term für [mm]f^{(n)}(-3)[/mm] ergibt.
Das dann in die Taylorreihenformel einsetzen und fertig!
Die Hauptarbeit besteht darin, die allg. Form zu finden.
Bilde die ersten 4 Ableitungen und du wirst ein Muster erkennen, das dich auf die allg. Form bringt.
Dann per Induktion schnell beweisen ...
>
> Nun siehts bei mir so aus:
>
> [mm]=\bruch{-1}{3}-\bruch{-1}{9} (x+3)-\bruch{2}{54}(x^2+3x+9)-\bruch{6}{426} (x^3+6x^2+18x+27)- \bruch{24}{5112} (x^4+6x^3+27x^2+54x+81)[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{-1}{213} x^4[/mm] - [mm]\bruch{2}{71} x^3[/mm] -
> [mm]\bruch{476}{1917} x^2[/mm] - [mm]\bruch{466}{639}[/mm] x -
> [mm]\bruch{125}{71}[/mm]
>
>
> Die ersten beiden Glieder sehen ja noch in Ordnung aus 
> Ist das Ergebnis korrekt ?
>
>
> Vielen Dank im Vorraus
Bitte nur ein "r" in "Voraus"
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion f(x)=lnx an der Stelle [mm] x_0=2 [/mm] in eine Taylor-Reihe. |
Ich habe das Thema immernoch nicht verstanden :(
Zunächst einmal habe ich die Ableitungen gebildet, also:
f'(x) = 1/x
f''(x) = -x^(-2)
f'''(x) = 2*x^(-3)
Die Funktion sieht als eine Reihe so aus, ohne [mm] x_0 [/mm] so :
f^(k) (x) = (k-1)! [mm] (-1)^k^+^1 [/mm] * x^-^k aus oder ?
Und mit [mm] x_0:
[/mm]
f^(k) [mm] (x_0)= [/mm] (k-1)! (-1)^(k^+^1) * 1/(2)^(k)
Nun muss ich doch folgendes machen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm]
[mm] \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] (k-1)!(-1)^k^+^1*\bruch{1}{2^k} [/mm] * [mm] (x-2)^k
[/mm]
Diesen Schritt verstehe ich iwie nicht :S
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Hallo Carlo,
> Entwickeln Sie die Funktion f(x)=lnx an der Stelle [mm]x_0=2[/mm] in
> eine Taylor-Reihe.
> Ich habe das Thema immernoch nicht verstanden :(
>
> Zunächst einmal habe ich die Ableitungen gebildet, also:
>
> f'(x) = 1/x
> f''(x) = -x^(-2)
> f'''(x) = 2*x^(-3)
>
> Die Funktion sieht als eine Reihe so aus, ohne [mm]x_0[/mm] so :
>
> f^(k) (x) = (k-1)! [mm](-1)^k^+^1[/mm] * x^-^k aus oder ?
>
>
> Und mit [mm]x_0:[/mm]
>
> f^(k) [mm](x_0)=[/mm] (k-1)! (-1)^(k^+^1) * 1/(2)^(k)
>
>
> Nun muss ich doch folgendes machen:
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{k!}[/mm] * [mm](k-1)!(-1)^k^+^1*\bruch{1}{2^k}[/mm] * [mm](x-2)^k[/mm]
Hier hast Du doch nur [mm]f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)[/mm] eingesetzt:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(k-1)!(-1)^k^+^1*\bruch{1}{2^k}\left(x-2}\right)^{k}[/mm]
>
> Diesen Schritt verstehe ich iwie nicht :S
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich habe hier die Musterlösung vorliegen und ich blicke da einfach nicht durch:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k-1)! [mm] (-1)^k^+^1 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] * [mm] (x-2)^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{k!}{k} (-1)^k^+^1 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2^k} (x-2)^k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k *(x-2)^k
[/mm]
Ist das jetzt die Lösung ? Ich kann die ganzen Schritte nicht nachvollziehen :(
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Hallo Carlo,
> Ich habe hier die Musterlösung vorliegen und ich blicke da
> einfach nicht durch:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (k-1)! [mm](-1)^k^+^1[/mm] * [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm] *
> [mm](x-2)^k[/mm]
>
Zunächst fehlt hier ein [mm]\bruch{1}{k!}[/mm]:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\blue{\bruch{1}{k!}} (k-1)! (-1)^{k+1} * \bruch{1}{2^k} * (x-2)^k[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm] * [mm]\bruch{k!}{k} (-1)^k^+^1[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{2^k} (x-2)^k[/mm]
>
Hier wurde dann [mm]\left(k-1\right)!=\bruch{k!}{k}[/mm] gesetzt.
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k *(x-2)^k[/mm]
Dann wurde
[mm]a_{k}=\bruch{1}{k!}\bruch{k!}{k} (-1)^ {k+1} * \bruch{1}{2^k}[/mm]
gesetzt.
>
> Ist das jetzt die Lösung ? Ich kann die ganzen Schritte
> nicht nachvollziehen :(
Gruss
MathePower
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