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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 25.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | | Geben Sie das Taylorpolynom der Funktion f(x)=cosh(x) am Entwicklungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] und das zugehörige Restglied [mm] R_n(x) [/mm] an. Untersuchen Sie, für welche x aus R das Restglied [mm] R_n(x) [/mm] für n gegen unendlich 0 und damit die Taylorreihe gegen f(x) konvergiert. |
Ich hab mir bis jetzt Folgendes überlegt:
f(x)=cosh(x)
f´(x)=sinh(x)
f´´(x)=cosh(x)
f´´´(x)=sinh(x)
f´´´´(x)=cosh(x),...
f(0)=1
f´(0)=0
f´´(0)=1
f´´´(0)=0
f´´´´(0)=1,...
Daraus ergibt sich also:
[mm] 1+1/2*x^2+1/24*x^4+1/720*x^6+...=Die [/mm] Summe von n=0 bis unendlich über 1/(2n)!*x^(2*n).
Wo ist da denn ein Restglied?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Blech |
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier (siehe "Restgliedformeln" weiter unten. Eine davon wird Dir hoffentlich aus der Vorlesung bekannt vorkommen, das ist dann die, die Du verwenden sollst. Andernfalls nimm die Lagrangesche, oder die, die Dir am besten gefällt).
Die Antwort ist natürlich, daß [mm] $cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ [/mm] und damit ist die Taylorreihe natürlich die "Hälfte" der Exponentialreihe und das Ding konvergiert überall gegen cosh(x). Aber ihr sollt wahrscheinlich zur Übung das ganze mit Hilfe des Restglieds nachweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Fr 25.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine schnelle Antwort.
Mein Problem bei der Restgliedbestimmung ist nicht die Formel, sondern die Bestimmung des Folgegliedes, ab welcher ich das Restglied bilden soll, da meine Reihe bereits alle n bis unendlich abdeckt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Blech |
$f(x) = [mm] T_n(x) [/mm] + [mm] R_n(x)$
[/mm]
Du sollst Taylorpolynom und Restglied allgemein in Abhängigkeit von n angeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Fr 25.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ach so :)Danke für deine Hilfe. Ich werd mich mal dran versuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 26.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich komme mit dem Restglied nicht ganz klar, da ich das Gefühl habe, mein xi nicht aus dem ganzen Intervall (0,x) bestimmen zu können, wobei x auf ganz R liegt, da bei gleichem x (x=1000)ich bei dem Restglied des 4. und 6. Grades eine deutliche Steigung gesehen habe und eigentlich sollte der Wert mit zunehmender Ableitung kleiner werden, da die Taylorabschätzung genauer wird.
Ich würde mich über etwas Hilfe freuen. Ich bin am verzweifeln.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Sa 26.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch nur [mm] R_n(x) [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] untersuchen.
natürlich konvergiert jedes Taylorpolynom umso schlechter, je weitewr x von [mm] x_0 [/mm] entfernt ist!
dein xi ist irgendein fester aber belibig großer Wert.
dafür musst du das Restglied untersuchen, und zwar nur für n gegen unendlich. [mm] T_6 [/mm] etwa nähert die Funktion für große x beliebig schlecht .
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Sa 26.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Hallo, wie muss mein Restglied nun aussehen?
Summe von k=0 bis n uber (1/(2k)!)*x^(2*k)+Rn(x)
Rn(x) ist dann bei mir (f^(2n+2)(xi)* x^(2n+2))/(2n+2)!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Sa 26.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Stmmt mein Restglied so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Sa 26.01.2008 | | Autor: | leduart |
Ja, wähl zum Abschätzen xi=x (dem größten Wert)
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:03 So 27.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Gut, damit habe ich das Restglied. Ich weiß nur noch nicht so ganz, wie ich meine Abschätzung für n gegen unendlich machen soll, da ich nicht weiß, wie ich zeigen soll, dass die Exponentialfuntkion langsamer wächst als die Fakultätsfunktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Di 29.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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