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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 05.07.2007 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | | Schätzen sie Den Fehler von [mm] T_{3}(x,\bruch{1}{2}) [/mm] gegenüber f(x) für ein x [mm] \in [1,\bruch{1}{2}] [/mm] ab! |
Soo. Die Funktion ist ln(2x) also ist:
f'(x)=1/x
[mm] f''(x)=-1/x^2
[/mm]
[mm] f'''(x)=2/x^3
[/mm]
ok?
Ich soll ja von [mm] T_3 [/mm] den Fehler abschätzen. Daher gilt für das Restglied n=4, korrekt?
Nun habe ich folgende Formel im Internet gefunden (habe n eingesetzt):
(Dort wo das Q ist, war eigentlich so ein gekriggeltes zeichen)
[mm] R_4(x)=\bruch{f^4*Q}{4!}(x-a)^{4}
[/mm]
soo! meine funktion vierter Ableitung lautet meiner Meinung nach:
[mm] f^IV(x)=-\bruch{2*3}{(x)^4} [/mm] eingesetzt für [mm] x_0=\bruch{1}{2} [/mm] => [mm] -2^4*6
[/mm]
so. ab hier weiß ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß, was ich mit dem Q (gekiggeltes zeichen) anfangen soll. ich habe hier noch ein paar notizen, die kann ich aber absolut nicht entschlüsseln^^
komme leider nicht weiter =(
vielen dank!!!
Gruß
Bunti
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> Schätzen sie Den Fehler von [mm]T_{3}(x,\bruch{1}{2})[/mm] gegenüber
> f(x) für ein x [mm]\in [1,\bruch{1}{2}][/mm] ab!
> Soo. Die Funktion ist ln(2x) also ist:
> f'(x)=1/x
> [mm]f''(x)=-1/x^2[/mm]
> [mm]f'''(x)=2/x^3[/mm]
>
> ok?
>
> Ich soll ja von [mm]T_3[/mm] den Fehler abschätzen. Daher gilt für
> das Restglied n=4, korrekt?
>
> Nun habe ich folgende Formel im Internet gefunden (habe n
> eingesetzt):
> (Dort wo das Q ist, war eigentlich so ein gekriggeltes
> zeichen)
>
> [mm]R_4(x)=\bruch{f^4*Q}{4!}(x-a)^{4}[/mm]
Sieht ähnlich aus, wie das 4-te Lagrangesche Restglied (ähnlich, aber nicht gleich). Ich denke, dies sollte richtiger lauten:
[mm]R_4(x)=\frac{(x-a)^4}{4!}f^{(4)}(\xi)[/mm]
Dabei ist [mm]\xi \in ]a,x[[/mm] (falls [mm]x>a[/mm], sinngemäss dasselbe gilt für [mm]x
Da Du aus dieser Formel nicht erfahren kannst, welchen Wert [mm]\xi[/mm] hat, musst Du versuchen, den Betrag der vierten Ableitung [mm]f^{(4)}(\xi)[/mm] für beliebiges [mm]\xi \in ]a;x[[/mm] bzw. [mm]\xi \in ]x;a[[/mm] abzuschätzen, indem Du berechnest, welches der grösste Wert der vierten Ableitung im betreffenden Intervall sein kann.
> soo! meine funktion vierter Ableitung lautet meiner Meinung
> nach:
> [mm]f^IV(x)=-\bruch{2*3}{(x)^4}[/mm] eingesetzt für
> [mm]x_0=\bruch{1}{2}[/mm] => [mm]-2^4*6[/mm]
>
> so. ab hier weiß ich nicht mehr weiter, weil ich nicht
> weiß, was ich mit dem Q (gekiggeltes zeichen) anfangen
> soll.
Siehe meine Erläuterung der Bedeutung des 4-ten Lagrangeschen Restglieds weiter oben.
> ich habe hier noch ein paar notizen, die kann ich
> aber absolut nicht entschlüsseln^^
>
> komme leider nicht weiter =(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Max80 |
also wenn ich ehrlich bin, weiß ich jetzt nicht, wie es weiter geht =)
ich weiß ja nicht mal, was überhaupt verlangt wird?! "schätzen sie den fehler"....?!
ich vermute mal wir sind schon recht weit mit der aufgabe. aber wie geht das jetzt zu ende???
danke!!!!
LG
Bunti
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> also wenn ich ehrlich bin, weiß ich jetzt nicht, wie es
> weiter geht =)
>
> ich weiß ja nicht mal, was überhaupt verlangt wird?!
> "schätzen sie den fehler"....?!
Das Restglied [mm] $R_4(x)$ [/mm] ist, für ein konkretes $x$ der Fehler, d.h. die Differenz zwischen wahrem Funktionswert $f(x)$ und dem Wert des Taylorpolynoms [mm] $T_3(x,\frac{1}{2})$. [/mm] Denn es ist ja:
[mm] [center]$|f(x)-T_3(x,\frac{1}{2})| [/mm] = [mm] |R_4(x)|$.[/center]
[/mm]
Also besteht Deine Aufgabe darin, die Grösse dieses Restgliedes [mm] $R_4(x)$ [/mm] abzuschätzen. Das kannst Du nur machen, indem Du eine Schranke für die Grösse der im Restglied auftretenden, leider nicht exakt berechenbaren vierten Ableitung [mm] $f^{(4)}(\xi)$ [/mm] bestimmst (wobei Du über [mm] $\xi$ [/mm] nur weisst, dass es in $]x;a[$ bzw. in $]a;x[$ liegen muss).
Nebenbei bemerkt: Du hast schon bei der Beschreibung der Aufgabenstellung etwas reichlich Merkwürdiges geschrieben, nämlich, dass der Fehler von [mm] $T_3(x,\frac{1}{2})$ [/mm] gebenüber $f(x)$ für ein [mm] $x\in [1,\frac{1}{2}]$ [/mm] abgeschätzt werden müsse. Merkwürdig daran ist das Intervall [mm] $[1,\frac{1}{2}]$, [/mm] bei dem die obere Grenze kleiner ist als die untere. Es wäre eine gute Sache, wenn Du dies bei Gelegenheit richtigstellen könntest.
>
> ich vermute mal wir sind schon recht weit mit der aufgabe.
> aber wie geht das jetzt zu ende???
Eben, Du musst nun eine möglichst gute (will heissen: möglichst kleine) obere Schranke $M$ für den Betrag des Restglieds [mm] $R_4(x)$ [/mm] bestimmen. So dass also gilt:
[mm] [center]$|R_4(x)|\leq [/mm] M$ für alle $x$ im betreffenden Intervall[/center]
(einem Intervall allerdings, das, wie gesagt, in Deiner Wiedergabe der Aufgabenstellung der reinste Müll, nämlich leer ist).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Max80 |
Die Aufgabe habe ich direkt so abgeschrieben. Liegt sicher ein Fehler hier vor, da die Sache per Hand geschrieben war... (da macht man ja öfter Fehler).
Leider hab ich immer noch nicht verstanden, was nun gemacht werden muss =(((
Ich habe ja jetzt den Wert der vierten Ableitung eingesetzt in das Polynom. Dann habe ich das Restglied. Ab hier versteh ich mittlerweile nur noch Bahnhof :)
Wird alles sehr kompliziert und am Ende ist es sicher einfach (hoffe ich zumindest). Wir würde denn bei der Aufgabe oben das Ergebnis aussehen?? Ich habs aufgegeben... sorry.
Danke!!!
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> Die Aufgabe habe ich direkt so abgeschrieben. Liegt sicher
> ein Fehler hier vor, da die Sache per Hand geschrieben
> war... (da macht man ja öfter Fehler).
>
> Leider hab ich immer noch nicht verstanden, was nun gemacht
> werden muss =(((
Da ich mich, wegen des unsinnigen Intervalls [mm] $[1;\frac{1}{2}]$, [/mm] auf eine blödsinnige Aufgabenstellung stützen muss, ist alles, was ich nun schreibe, unter den diesen Vorbehalt zu stellen: dass möglicherweise nicht das Intervall [mm] $[\frac{1}{2};1]$ [/mm] gemeint war.
> Ich habe ja jetzt den Wert der vierten Ableitung eingesetzt
> in das Polynom. Dann habe ich das Restglied. Ab hier
> versteh ich mittlerweile nur noch Bahnhof :)
> Wird alles sehr kompliziert und am Ende ist es sicher
> einfach (hoffe ich zumindest). Wir würde denn bei der
> Aufgabe oben das Ergebnis aussehen??
Wir müssen also die Differenz zwischen wahrem Funktionswert $f(x)$ und dem Wert des $f(x)$ approximierenden Taylorpolynoms dritten Grades [mm] $T_3(x,\frac{1}{2})$ [/mm] für ein [mm] $x\in [\frac{1}{2};1]$ [/mm] abschätzen. Es ist
[mm]\begin{array}{rcll}
\big|f(x)-T_3(x,\frac{1}{2})\big| &=& \big|R_4(x)\big| & \text{(Restglied einsetzen)}\\[.2cm]
&=& \Big|\frac{(x-\frac{1}{2})^4}{4!}\cdot f^{(4)}(\xi)\Big| &\text{(vierte Ableitung einsetzen)}\\[.2cm]
&=& \Big|\frac{(x-\frac{1}{2})^4}{4!}\cdot \frac{-6}{\xi^4}\Big| &\text{(nach oben abschätzen)}\\[.2cm]
&\leq& \Big|\frac{(x-\frac{1}{2})^4}{4!}\cdot \frac{6}{\left(\frac{1}{2}\right)^4}\Big|\\[.2cm]
&=& 4\big(x-\frac{1}{2}\big)^4
\end{array}
[/mm]
Dabei habe ich verwendet, dass ja [mm] $\xi \in ]\frac{1}{2};x[$ [/mm] liegen muss und sich deshalb der Betrag des Faktors [mm] $\frac{6}{\xi^4}$ [/mm] nach oben abschätzen lässt.
Falls ich hier also keinen Müll gerechnet habe (nie ganz auszuschliessen), ist der Fehler der Approximation von $f(x)$ durch das Taylorpolynom vom dritten Grad, [mm] $T_3(x,\frac{1}{2})$ [/mm] für [mm] $x\in [\frac{1}{2};1]$, [/mm] nicht grösser als [mm] $4\cdot \big(x-\frac{1}{2}\big)$.
[/mm]
Bem: Solche Abschätzungen mit Hilfe des Lagrangeschen Restglieds sind in der Regel übertrieben pessimistisch - so vermutlich auch hier. (Du kannst ja einmal die Funktion und das Taylorpolynom plotten lassen - oder vielleicht besser noch: gerade die Differenz von Funktion und Taylorpolynom.)
P.S: Alle Angaben wie immer ohne Gewähr.
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