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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Mi 14.09.2011 | | Autor: | mo1985 |
| Aufgabe | Geben sie für die reelle Funktion
h(x) = [mm] (e^{-x}-1)^{2} [/mm]
eine Näherungsformel für kleine x bis zur dritten nicht verschwindenden Ordnung an. |
Hallo, also wenn ich das richtig verstehe soll ich eine Näherung angeben die h(x) beschreibt.
die Formel dazu wäre ja
h(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{h^{n}(x0)}{n!}*(x-x0)^{n}
[/mm]
Ich war immer davon ausgegangen das ich einfach die Ableitungen der Funktion einsetzen muss aber das ja falsch...Kann mir jemand den Ansatz erklären? Also was x und was x0 ist...
Danke Gruß
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Hallo mo1985,
> Geben sie für die reelle Funktion
>
> h(x) = [mm](e^{-x}-1)^{2}[/mm]
> eine Näherungsformel für kleine x bis zur dritten nicht
> verschwindenden Ordnung an.
> Hallo, also wenn ich das richtig verstehe soll ich eine
> Näherung angeben die h(x) beschreibt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die Formel dazu wäre ja
>
>
> h(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{h^{n}(x0)}{n!}*(x-x0)^{n}[/mm]
>
> Ich war immer davon ausgegangen das ich einfach die
> Ableitungen der Funktion einsetzen muss aber das ja falsch...
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Ist das ein Satz?
"Das richtige Idee"
> Kann mir jemand den Ansatz erklären? Also was x
> und was x0 ist...
[mm]x[/mm] ist die Variable, [mm]x_0[/mm] die Entwicklungsstelle.
Nimm doch [mm]x_0=0[/mm] ...
Dann bastel das gem. der obigen Formel zusammen bis zur oben geforderten Ordnung.
> Danke Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Mi 14.09.2011 | | Autor: | mo1985 |
Hallo, worauf bezieht sich das???
> Ist das ein Satz?
>
> "Das richtige Idee"
>
wieso ist denn x0 = 0 und wenn x eine vaiable ist dann müsste ja immer das gleiche rauskommen. Bzw. wenn ich nur x nehme, und das Ableite kommt ja schon bei der ersten Ableitung 1 raus...irgendwas werde ich ja für die Variable x einsetzen müssen ;)
zum beispiel bei [mm] e^{x} [/mm] würde es ja so aussehen
[mm] 1+\bruch{x^{1}}{1!}+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^{n}}{!n}
[/mm]
>
> [mm]x[/mm] ist die Variable, [mm]x_0[/mm] die Entwicklungsstelle.
>
> Nimm doch [mm]x_0=0[/mm] ...
>
> Dann bastel das gem. der obigen Formel zusammen bis zur
> oben geforderten Ordnung.
>
> > Danke Gruß
>
> LG
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mi 14.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo mo,
Du kannst (musst sogar) [mm] $x_0 [/mm] =0$ waehlen, da in der Aufgabenstellung von "kleinen $x$" die Rede ist. Damit sind immer solche $x$ gemeint, die nahe bei $0$ sind.
Eine Taylorentwicklung ist im Prinzip nichts anderes als die Darstellung der Funktion in den Monomen [mm] $x^n$ [/mm] (bzw. [mm] $(x-x_0)^n$). [/mm] Wenn Du die Funktion $f(x)$ hast, dann ist $x$ eine Variable. Genauso ist $x$ die Variable in der polynomiellen Form der Taylorentwicklung.
Deine Funktion ist $h(x) = [mm] (e^{-x}-1)^2$. [/mm] Um die Taylorentwicklung zu machen, bildest Du die ersten $n$ Ableitungen von $h(x)$ nach $x$, wertest sie an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] aus, gewichtest sie jeweils mit $n!$ und multiplizierst [mm] $(x-x_0)^n$ [/mm] dran. Dann summierst Du ueber $n$ und hast die Darstellung. Wie Du darauf kommst, nur $x$ ableiten zu muessen, kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Die erste Aufgabe ist jetzt: Bilde mal die ersten - sagen wir 5 - Ableitungen Deiner Funktion und gib sie an. Wenn Du willst, kannst Du auch die anderen Schritte machen, die ich oben angedeutet habe.
Viele Gruesse,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mi 14.09.2011 | | Autor: | mo1985 |
Danke, das habe ich jetzt soweit verstanden glaube ich.
ich gebe mal nur die ersten beiden Ableitungen an, da ich ja auch nur bis zur dritten nicht verschwindenen Ordnung angeben muss...hoffe das ist jetzt soweit alles richtig.
h'(x) = [mm] -2e^{-x}*(e^{-x}-1)
[/mm]
h''(x) = [mm] 2(e^{-x}-2e^{-2x}*(e^{x}-1))
[/mm]
Gruß
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Hallo, 1. Ableitung ist korrekt, aber die 2. nicht, benutze die Produktregel, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 14.09.2011 | | Autor: | mo1985 |
h''(x) = [mm] -2(e^{-x}(e^{-x}-1)e^{-2x}) [/mm]
h'''(x)= [mm] -2(e^{-x}-2e^{-2x}(e^{x}-2))
[/mm]
hoffe sind jetzt richtig ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mi 14.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hi mo,
leider immernoch falsch, aber bei der zweiten Ableitung hast Du evtl. nur ein Rechenzeichen verschlampt. Rechne einfach mal die zweite Ableitung hier vor, ohne etwas zusammenzufassen, Schritt fuer Schritt. Dann sehen wir vielleicht wo/ob es hakt.
Viele Gruesse,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mi 14.09.2011 | | Autor: | mo1985 |
ok...bevor ich jetzt das große rechnen beginne: ist denn mein ansatz oben mit der formel richtig??? habe mal die lösung rausgesucht h(x) = [mm] x^{2}-x^{3}+\bruch{7}{12}x^{4}...wenn [/mm] ich den richtigen ansatz habe rechne ich hier mal vor in der hoffnung das ich auf des rätsels lösung komme ;)
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Hallo, deine Lösung passt nicht zur Aufgabenstellung, du entwickelst an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] somit ist f(0)=0, machen wir mit den Ableitungen weiter,
[mm] f'=-2*e^{-x}*(e^{-x}-1)
[/mm]
jetzt Produktregel machen
[mm] f''=2*e^{-x}*(e^{-x}-1)+(-2)*e^{-x}*(-1)*e^{-x}
[/mm]
[mm] f''=2*e^{-x}*(e^{-x}-1)+2*e^{-x}*e^{-x}
[/mm]
[mm] f''=2*e^{-2x}-2*e^{-x}+2*e^{-2x}
[/mm]
[mm] f''=4*e^{-2x}-2*e^{-x}
[/mm]
[mm] f''=2*e^{-x}*(2*e^{-x}-1)
[/mm]
die dritte Ableitung ist für dich
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Do 15.09.2011 | | Autor: | mo1985 |
Ergebnis ist schon richtig, dann ist wohl eher mein Ansatz falsch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Do 15.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ansatz und Ergebnis sind richtig.
du kannst aber auch die dir bekannte Reihe für [mm] e^{-x} [/mm] benutzen!
aber vielleicht solltest du trotzdem ableiten üben!
da die ersten 2 abl. 0 sind bei 0 musst du 2te, 3te UND 4 te ausrechnen!
(statt produktregel kannst du ja auch ausmultiplizieren und dann ableiten!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Fr 16.09.2011 | | Autor: | mo1985 |
jo super, danke!
dann habe ich jetzt vollgende ergebnisse für die ableitungen
f'(x) = [mm] -2e^{-x}*(e^{-x}-1)
[/mm]
f''(x) = [mm] 4*e^{-2x}-2e^{-x}
[/mm]
f'''(x) = [mm] -8*e^{-2x}+2e^{-x}
[/mm]
f''''(x) = [mm] 16*e^{-2x}-2e^{-x}
[/mm]
hoffe das ist jetzt richtig, wenn nicht werde ich mal meine rechenwege angeben ;)
habe f'(x) jetzt erst ausmulipliziert, das erscheint mir deutlich einfacher als per produktregel...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Fr 16.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo mo,
diesmal sehen die Ableitungen gut aus. Dann kann es ja weiter mit dem Rest der Aufgabe gehen ^^;
Viele Grüße,
AT-Colt
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