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| Aufgabe | Seien die Voraussetzungen für die Taylor-Reihenentwicklung erfüllt. Sei [mm] x_0\in]a,x[. [/mm]
(i) Zeige, dass die Taylor Formel sich nach n-facher Ableitung zum normalen Mittelwertsatz reduziert.
(ii) f benehme sich in der Umgebung x=a als [mm] (x-a)^m, m\in \mathbb{Z}. [/mm] Für welche m verschwindet das Restglied wenn [mm] n\rightarrow \infty [/mm] genommen wird.
(iii) f sei proportional zu [mm] x^\eta, [/mm] mit [mm] x\in \mathbb{R}_+, \eta \in \mathbb{R}. [/mm] Sie wollen f durch ein Taylor-Polynom des Grads [mm] n>>\eta [/mm] im Intervall [mm] x\in ]x_1,x_2[ [/mm] beschreiben. Wie sollten Sie a wählen, um den Betrag des Restglieds zu minimieren? |
Hallo,
zu (i):
Taylor Formel: [mm] f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+\frac{f^{(n+1)}(x_{0})}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.
[/mm]
Was ich hier eigentlich nur gemacht habe, ist die Formel nach [mm] f^{(n)}(a) [/mm] umgestellt. Ich komme zu: [mm] f^{(n)}(a)&=&\left[f(x)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}-\frac{f^{(n+1)}(x_{0})}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\right]n! [/mm] .
Ich weiß nicht recht, ob das überhaupt das ist, was ich machen sollte. Oder muss ich was anderes machen?
Mal angenommen mein Weg ist der richtige, ist das dann schon der Mittelwertsatz? Ich erkenne es so nämlich noch nicht.
Nach dem Mittelwertsatz gilt ja: [mm] \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x_0).
[/mm]
Zu (ii):
Da weiß ich nicht so recht, was gemeint ist bzw. was ich machen muss.
Zu (iii):
Eigentlich das gleiche Problem wie bei (ii).
Gruß
Sleeper
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Hallo,
Bei i heißt es, du musst die Taylorentwicklung n-fach ableiten. Mach das und schau, ob das Ergebnis befriedigender ist.
Zu ii:
Die Taylorreihe nähert eine beliebige Funktion als Summe von Polynomfunktionen an. Was passiert nun, wenn du ein Polynom durch diese Taylorreihe annähern willst? Ab wann verschwinden dann die Restglieder?
Bei der iii ist das Problem ähnlich in Angriff zu nehmen.
Viel Erfolg,
Roland.
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> Hallo,
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> Bei i heißt es, du musst die Taylorentwicklung n-fach
> ableiten. Mach das und schau, ob das Ergebnis
> befriedigender ist.
> Zu ii:
> Die Taylorreihe nähert eine beliebige Funktion als Summe
> von Polynomfunktionen an. Was passiert nun, wenn du ein
> Polynom durch diese Taylorreihe annähern willst? Ab wann
> verschwinden dann die Restglieder?
> Bei der iii ist das Problem ähnlich in Angriff zu
> nehmen.
>
> Viel Erfolg,
>
>
> Roland.
Ok, aber wie leite ich diese allgemeine Formel denn ab, und noch schlimmer, wie mache ich das gleich n-mal?
Bei ii und iii weiß ich aber immer noch nicht, was ich formal wie rechnen muss.
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Hallo,
dann leite erstmal einmal ab sieh, was passiert. Dann leitest du nochmal ab und schaust wieder...
Oder du fragst dich, was du machst: Die Taylorreihe ist ein Polynom. Ein Polynom n-ten Grades ist nach der n+1. Ableitung 0, oder? Vielleicht hilft das schon!
Vergnügliche Stunden,
Roland.
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Gut den ersten Teil hab ich geschafft.
Jetzt muss ich noch (ii) und (iii) abschließen.
Mir ist immer noch nicht ganz klar, was ich da rechnen muss.
Was heißt denn, f benehme sich in der Umgebung von x=a als [mm] (x-a)^m?
[/mm]
Heißt das, dass wenn ich f am Entwicklungspunkt a entwickle, [mm] f(x)=(x-a)^m [/mm] ist?
Und wie mache ich das dann mit dem [mm] n\rightarrow \infty.
[/mm]
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Hallo,
so wie ich das verstehe, liegst du richtig! Die Funktion soll sich in der Umgebung [mm] \((x=a)\) [/mm] wie eine Funktion [mm] \((x-a)^m\) [/mm] verhalten. Also bei der Entwicklung an der Stelle nimmst du diese Funktion.
Nun ist [mm] \(m\in\IZ\). [/mm] Für positive [mm] \(m\) [/mm] ist es einfach zu sehen, was mit dem Restglied passiert. (Leite doch [mm] \((m+1)\)-mal [/mm] ab, denn jedes weitere Glied in der Taylorreihe ist doch eine noch höhere Ableitung der Funktion.)
Negativ darf [mm] \(m\) [/mm] natürlich auch sein. Was passiert dort mit dem Restglied (bei [mm] \((m+1)\) [/mm] Ableitungen?
Viel Erfolg!
Roland.
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> Hallo,
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> so wie ich das verstehe, liegst du richtig! Die Funktion
> soll sich in der Umgebung [mm]\((x=a)\)[/mm] wie eine Funktion
> [mm]\((x-a)^m\)[/mm] verhalten. Also bei der Entwicklung an der
> Stelle nimmst du diese Funktion.
> Nun ist [mm]\(m\in\IZ\).[/mm] Für positive [mm]\(m\)[/mm] ist es einfach zu
> sehen, was mit dem Restglied passiert. (Leite doch
> [mm]\((m+1)\)-mal[/mm] ab, denn jedes weitere Glied in der
> Taylorreihe ist doch eine noch höhere Ableitung der
> Funktion.)
> Negativ darf [mm]\(m\)[/mm] natürlich auch sein. Was passiert dort
> mit dem Restglied (bei [mm]\((m+1)\)[/mm] Ableitungen?
> Viel Erfolg!
>
>
> Roland.
Wenn ich das ganze m+1-mal ableite komme ich doch zu 0. Demnach verschwindet das Restglied doch für alle [mm] m\in \mathbb{Z} [/mm] wenn [mm] n\rightarrow \infty [/mm] geht, oder?
Ist das jetzt wirklich schon die Lösung?
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Hallo,
ja es ist tatsächlich so einfach. Die erste Aufgabe war es doch auch!
Viel Erfolg noch beim Rest!
Roland.
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Das freut mich ja schonmal.
Allerdings nochmal zur dritten.
Jetzt muss ich das ganze auf den Entwicklungspunkt übertragen. Hier kann ja nicht wieder genauso argumentiert werden. Also wenn ich [mm] x^{\mu} [/mm] n+1 mal ableite, dass es dann gleich Null ist. Denn [mm] \mu [/mm] ist reell und dementsprechend kann ich nicht einfach sagen, dass die erste Ableitung davon [mm] \mu x^{\mu-1} [/mm] ist.
Es kann ja nicht schon wieder rauskommen, dass die Wahl des Entwicklungspunktes egal ist.
Wie macht man es besser?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 15.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Doch genauso sieht die erste und entsprechend alle anderen Ableitungen aus. da [mm] n>\mu [/mm] was passiert dabei? wo sind die Ableitungen gross, wo klein?
Gruss leduart
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> Hallo
> Doch genauso sieht die erste und entsprechend alle anderen
> Ableitungen aus. da [mm]n>\mu[/mm] was passiert dabei? wo sind die
> Ableitungen gross, wo klein?
> Gruss leduart
Gut wenn dem doch so ist, dann wird [mm] x^{\mu} [/mm] nach [mm] \mu+1-mal [/mm] differenzieren ja zu 0. Entsprechendes gilt nach n fachem ableiten für f, da n viel größer als [mm] \mu.
[/mm]
Dann wäre doch aber [mm] f^{(n+1)} [/mm] auch =0 und damit ist der Entwicklungspunkt wieder frei wählbar, da das Restglied wegfällt, oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 So 15.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn [mm] \mu [/mm] keine ganze Zahl ist, kann man nicht [mm] \mu-1 [/mm] mal differenzieren. du differenzierst n mal oder n-1 mal.
Du denkst zu kurz nach und schreibst zu schnell zurück. erstmal ne weile denken!
gruss leduart
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