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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Gegeben Sei die Funktion
f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] * [mm] cos(y^2-2y) [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{z^2+1})
[/mm]
a) Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Grades von f mit Entwicklungspunkt (2,0,-1)
b) Geben Sie die Hesse-Martix des Taylor-Polynoms aus Teil (a) an. |
Hi zusammen,
zunächst habe ich mal eine Frage zur gegebenen Funktion. Muss da nicht f(x,y,z) = ...., da ja auch x,y&z vorkommt ?
zu a)
Die Taylorformel Grad 2 ist doch folgende:
[mm] T_2(x,y) [/mm] = f(x,y,z) + D_1f(x,y,z)(x-a) + D_2f(x,y,z)(y-b) + [mm] \bruch{1}{2} f(x,y,z)(x-a)^2 [/mm] + [mm] D_1D_2 [/mm] f(x,y,z)(x-a)(y-b) + [mm] \bruch{1}{2} f(x,y,z)(y-b)^2
[/mm]
a,b sind in diesem Fall 2 & 0. Die -1 brauche ich ja nur um bei den partiellen Ableitungen die Werte zu berechnen.
f(2,0,-1) = 4 * cos(0) * ln(1/2) = -4ln(2)
Hier mal meine ersten Ableitungen:
D_1f(x,y) = 2x * [mm] cos(y^2-2y) [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{z^2+1})
[/mm]
D_1f(2,0,-1) = -4ln(2)
D_2f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] * [mm] ((2y-2)*(-sin(y^2-2y)) [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{z^2+1})
[/mm]
D_2f(2,0,-1) = -4ln(2)
Sind diese Werte bis hierhin korrekt?
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Hallo,
> Gegeben Sei die Funktion
> f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x,y) = [mm]x^2[/mm] * [mm]cos(y^2-2y)[/mm] *
> [mm]ln(\bruch{1}{z^2+1})[/mm]
>
> a) Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Grades von f mit
> Entwicklungspunkt (2,0,-1)
>
> b) Geben Sie die Hesse-Martix des Taylor-Polynoms aus Teil
> (a) an.
> Hi zusammen,
>
> zunächst habe ich mal eine Frage zur gegebenen Funktion.
> Muss da nicht f(x,y,z) = ...., da ja auch x,y&z vorkommt ?
Ja, das ist tatsächlich etwas komisch. Aber rein von der Funktionsdefinition ist z als Konstante anzusehen und dann bei a) immer -1 für z einzusetzen.
Aber wenn $f: [mm] \IR^{3}\to \IR, [/mm] f(x,y,z) = ...$ da gestanden hätte, müsstest du z in die Taylorentwicklung miteinbeziehen.
> zu a)
> Die Taylorformel Grad 2 ist doch folgende:
> [mm]T_2(x,y)[/mm] = f(x,y,z) + D_1f(x,y,z)(x-a) + D_2f(x,y,z)(y-b)
> + [mm]\bruch{1}{2} \red{D_1^2} f(x,y,z)(x-a)^2[/mm] + [mm]D_1D_2[/mm] f(x,y,z)(x-a)(y-b)
> + [mm]\bruch{1}{2} \red{D_2^2} f(x,y,z)(y-b)^2[/mm]
>
> a,b sind in diesem Fall 2 & 0. Die -1 brauche ich ja nur um
> bei den partiellen Ableitungen die Werte zu berechnen.
Ja. Da fehlten noch zwei zweite Ableitungen (s.o. rot), aber das war sicher nur ein Tippfehler.
> f(2,0,-1) = 4 * cos(0) * ln(1/2) = -4ln(2)
OK.
> Hier mal meine ersten Ableitungen:
> D_1f(x,y) = 2x * [mm]cos(y^2-2y)[/mm] * [mm]ln(\bruch{1}{z^2+1})[/mm]
> D_1f(2,0,-1) = -4ln(2)
OK.
> D_2f(x,y) = [mm]x^2[/mm] * [mm]((2y-2)*(-sin(y^2-2y))[/mm] *
> [mm]ln(\bruch{1}{z^2+1})[/mm]
> D_2f(2,0,-1) = -4ln(2)
Beim Einsetzen ist dir ein Fehler unterlaufen, es sollte 0 herauskommen (sin(0) = 0).
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 09.02.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für die Korrektur bei [mm] D_2.
[/mm]
Dann hier mal meine anderen Ableitungen:
[mm] D_1^2f(x,y) [/mm] = 2 * [mm] cos(y^2-2y) [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{z^2+1})
[/mm]
[mm] D_1^2f(2,0,-1) [/mm] = 2 * cos(0) * ln(1/2) = -2ln(2)
[mm] D_2^2f(x,y) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] * (2 * (2y-2) * [mm] (-cos(y^2-2y))) [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{z^2+1})
[/mm]
[mm] D_2^2f(2,0,-1) [/mm] = 4 * ((-4) * (-1)) * ln(1/2) = -8ln(2)
D_1D_2f(x,y) = 2x * ((2y-2) * [mm] (-sin(y^2-2y))) [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{z^2+1})
[/mm]
D_1D_2f(2,0,-1) = 4 * ((-2) * 0) * ln(1/2) = 0
[mm] T_2(x,y) [/mm] = -4ln(2) + (-4ln(2))(x-2) + 0 * (y-0) + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (-2ln(2)) * [mm] (x-2)^2 [/mm] + 0 * (x-2)(y-0) + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (-8ln(2))(y-0)^2
[/mm]
Ist das korrekt ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
>
> danke für die Korrektur bei [mm]D_2.[/mm]
> Dann hier mal meine anderen Ableitungen:
> [mm]D_1^2f(x,y)[/mm] = 2 * [mm]cos(y^2-2y)[/mm] * [mm]ln(\bruch{1}{z^2+1})[/mm]
> [mm]D_1^2f(2,0,-1)[/mm] = 2 * cos(0) * ln(1/2) = -2ln(2)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]D_2^2f(x,y)[/mm] = [mm]x^2[/mm] * (2 * (2y-2) * [mm](-cos(y^2-2y)))[/mm] *
> [mm]ln(\bruch{1}{z^2+1})[/mm]
Das stimmt nicht.
> [mm]D_2^2f(2,0,-1)[/mm] = 4 * ((-4) * (-1)) * ln(1/2) = -8ln(2)
>
> D_1D_2f(x,y) = 2x * ((2y-2) * [mm](-sin(y^2-2y)))[/mm] *
> [mm]ln(\bruch{1}{z^2+1})[/mm]
> D_1D_2f(2,0,-1) = 4 * ((-2) * 0) * ln(1/2) = 0
>
> [mm]T_2(x,y)[/mm] = -4ln(2) + (-4ln(2))(x-2) + 0 * (y-0) +
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (-2ln(2)) * [mm](x-2)^2[/mm] + 0 * (x-2)(y-0) +
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](-8ln(2))(y-0)^2[/mm]
>
> Ist das korrekt ?
Nein.
Gruss
MathePower
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