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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mi 03.12.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich hab mal eine frage und zwar welche logische Begründung gibt es denn dafür, dass beim Taylorpolynom z.B. auch der wert de n-ten ABleitung mit der n-ten ABleitung der ursprünglichen Funktion übereinstimmen muss?
erste und zweite ableitung sidn klar, die erste ist für die Steigung zweite, die zweite für das Maß der Krümmung aber die dritte hat doch keinen Einfluss mehr..weshalb soll sie also für den entwicklungswert (meistens ja x=0)auch gleich sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich hab mal eine frage und zwar welche logische Begründung
> gibt es denn dafür, dass beim Taylorpolynom z.B. auch der
> wert de n-ten ABleitung mit der n-ten ABleitung der
> ursprünglichen Funktion übereinstimmen muss?
Das siehst Du doch an der Definition des Taylorpolynoms.
So ist es gerade gemacht !
FRED
> erste und zweite ableitung sidn klar, die erste ist für
> die Steigung zweite, die zweite für das Maß der Krümmung
> aber die dritte hat doch keinen Einfluss mehr..weshalb soll
> sie also für den entwicklungswert (meistens ja x=0)auch
> gleich sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 03.12.2008 | | Autor: | noobo2 |
was meinst du denn genau?
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Das Taylor-Polynom soll die gegebene Funktion so gut wie möglich wiedergeben. Dies gelingt am besten, wenn es am Entwicklungspunkt in allen Ableitungen mit der gegebenen Funktion f übereinstimmt. Etwas drastisch illustriert:
Du kannst jede Funktion f(x) durch [mm] \wurzel{x} [/mm] annähern. Es ist dann f(x) = [mm] \wurzel{x}+ [/mm] R(x), wobei R den Fehler angibt. Dabei ist R(x) = f(x) - [mm] \wurzel{x}, [/mm] und wenn dich dieser Fehler nicht stört, kannst du zufrieden sein. Selbst wenn f sich gar nicht durch das T-Polynom berechnen lässt, kann man den Fehler durch das Glied, das dem Abbruch folgen würde, abschätzen.
Genauso gut kann man f(x) durch ein beliebiges Polynom approximieren, wenn man den entstehenden Fehler in Kauf nimmt. Das interessante am Taylor-Polynom ist nun: Wenn f durch ein Polynom approximiert werden kann (das geht nicht immer), so ist das Taylor-Polynom das mit dem kleinsten Fehler. Hinzu kommt noch, dass man den Fehler dabei sehr einfach abschätzen kann: Für unendlich viele Glieder im Allgemeinen 0, für n Glieder durch den n+1-ten Term.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 03.12.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
es wurde jetzt geschrieben "
Das Taylor-Polynom soll die gegebene Funktion so gut wie möglich wiedergeben. Dies gelingt am besten, wenn es am Entwicklungspunkt in allen Ableitungen mit der gegebenen Funktion f übereinstimmt. "
und das ist genau meine Frage, weshalb ist das so? weshalb hilft es, wennd ie funktionen in den ableitungen am entwicklunsgpunkt übereinstimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm mal ein Polynom 7 ten Grades und eines zweiten Grades.
Gib ihnen denselben Wert und dieselbe Steigung und Krümmung in 0. dann hast du die Parabel 100% in der Nähe von 0 auch noch ne passable Näherung für das andere Polynom, aber halt nur ne Näherung, erst wenn du alle Ableitungen bis zur 7.ten bei 0 kennst, hast du das Polynom 7. ten grades ganz bestimmt.
Das tolle ist ja, dass du Polynome nten Grades durch ihren Wert und n Ableitungen an EINER Stelle genau bestimmen kannst.
Nur weil du für die Änderung der Steigun =2te Ableitung noch nen Namen hast - Krümmung_ dagegen für die Änderung der Krümmung kenen namen weisst, denkst du Krümmung in einem Punkt würde ne Kurve beschreiben!
Aber nenn die Änderung der Krümmung Korsion und die Änderung davon Kambutchi usw. dann musst du eben auch noch Korsion und Kambutchi angeben um genau zu sagen, wie ne Kurve aussieht. Mit jeder weiteren Ableitung wird die Kurve eben der eigentlichen besser angenähert. Wenn du sie erst unter ner Lupe, dann unter dem Mikroskop usw. ansiehst, kann man den Unterschied erkennen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 03.12.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich hätte noch mal eine frage wie das mit dem restglied aussieht..kann jemand erklären wieman auf die Integralschreibweise kommt, da es mri ein wneig hirnrissig vorkommt.
R(x)= f(x)-T(x)
wenn man nun f(x) =e^(x)
nimmt und den nullten Taylorpolynom also T(x)=1
bei entwicklungsstelle x=0
kann man fürs restglied schreiben
e^(x)-1 = e^(x)-e^(0)
und dies ist [mm] \integral_{0}^{x}{e^x dx}
[/mm]
aber das eght ja nicht überall so einfahc udn auch nru bei der e funktion, da die ja mit ihrer stammfunkton identisch ist....also was hab ich da falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du dir einfach den Beweis für das Restglied ansiehst ist das nicht hirnrissig sondern einfach nur ne Rechnung. Abschätzen muss man das Restglied meistens anders.
Hast du nun eigentlich die Erklärung zu den Taylorreihen verstanden?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 03.12.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
gibt es denn irgendwo ne herleitung der restgliedformel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
z.Bsp wiki Taylorformel woher hast du denn die Formel, da wurde sie doch sicher auch hergeleitet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 03.12.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
bei wiki ist keien herleitung sondern nru die fertige formel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
du kannst dir die Potenzreihe selbst erstellen:
Sei [mm] f(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+....
[/mm]
bilde nun die Ableitungen:
f'(x)=...
f''(x)=...
f'''(x)=...
Hinweis: Nicht die Faktoren zusammenfassen und beachten, dass 0!=1 und 1!=1 ist.
Setze anschließend x=0 - dann kannst du die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] ermitteln und letztendlich deine Reihe entwickeln.
Viel Erfolg ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
Herby
Anm: Das ist die Herleitung der Mac Laurinschen Reihe, die Taylor Reihe ist eine Verallgemeinerung um einen beliebigen Entwicklungspunkt.
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Im Anhang findest du eine Berechnung der Restgliedformel.
Unter [mm] f^{(i)} [/mm] versteht man die i-te Ableitung von f, wenn i=0 ist handelt es sich um f selber.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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