Taylor Reihe cos < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:37 Do 31.01.2008 | | Autor: | timako |
| Aufgabe | f(x)=cos(x) mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=\bruch{\pi}{3}
[/mm]
Entwickeln Sie die Funktion in eine Taylorreihe und betrachten Sie ausführlich das Restgliedverhalten für n gegen unendlich. |
Hallo liebes Forum,
habe ein Problem hier die n-te Ableitung auszudrücken:
[mm] f^{n}(x)=(-1)^{n}*cos(x [/mm] - [mm] k*\bruch{\pi}{2}) [/mm] mit [mm] 0\le k\le4
[/mm]
Wie drücke ich dieses k (falls so richtig?) durch n aus?
Gruß,
T.
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Hallo timako!
Mir ist Dein genannter Ansatz "etwas" unklar. Denn für die ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Reihe benötigst Du doch lediglich die Ableitungswerte an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{3}$ [/mm] .
Dafür musst Du lediglich die Werte [mm] $\cos\left(\bruch{\pi}{3}\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\sin\left(\bruch{\pi}{3}\right)$ [/mm] kennen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Do 31.01.2008 | | Autor: | timako |
Hallo Roadrunner,
ich benötige die n-te Ableitung an der Stelle [mm] \bruch{\pi}{3}, [/mm] um diese dann in die Taylorformel einzusetzen.
Gruß,
T.
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Hallo timako!
Die Funktion $y \ = \ [mm] \cos(x)$ [/mm] bzw. deren Ableitungen können doch an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{3}$ [/mm] nur folgende Werte annehmen:
[mm] $$y\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] +\cos\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{2}$$
[/mm]
[mm] $$y'\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\sin\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2}$$
[/mm]
[mm] $$y''\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\cos\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$$
[/mm]
[mm] $$y'''\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] +\sin\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{\wurzel{3}}{2}$$
[/mm]
Ab [mm] $y^{(4)}$ [/mm] geht es dann wieder los wie bei [mm] $y(x_0)$ [/mm] ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 02.02.2008 | | Autor: | timako |
Hallo Roadrunner,
wie sieht denn dann die Taylorreihe aus, wie mache ich eine Restgliedbetrachtung ohne die n-te bzw. (n+1)-te Ableitung allgemeingültig formuliert zu haben?
cos(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}(x-\bruch{\pi}{3}) [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{4}(x-\bruch{\pi}{3})^{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{3}}{12}(x-\bruch{\pi}{3})^{3} [/mm] - ...
Gruß,
timako
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Sa 02.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach ne Fallunterscheidung:n gerade [mm] (-1)^{n/2}*0,5
[/mm]
n ungerade [mm] (-1)^{(n+3)/2}*\wurzel{3}/2
[/mm]
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:33 Mi 06.02.2008 | | Autor: | timako |
> Hallo
> einfach ne Fallunterscheidung:n gerade [mm](-1)^{n/2}*0,5[/mm]
> n ungerade [mm](-1)^{(n+3)/2}*\wurzel{3}/2[/mm]
Hallo leduart,
vielen Dank für deinen Hinweis. Allerdings hat für den Fall n ungerade die n-te Ableitung folgende Form:
[mm] f^{(n)} [/mm] = [mm] (-1)^{\bruch{n+1}{2}}*\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Gruß,
timako
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