Taylor, totales Differential < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Fr 01.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | [mm] z=f(x,y)=ln(x^2+y^2)
[/mm]
a, Definitionsbereich angeben
b, Lässt sich f in der Stelle [mm] (x_0,y_0)=(0;=) [/mm] stetig fortsetzten?, Begründe!
c,Das totale Differential von f
dTaylorreihe von f in [mm] P_0(1,2) [/mm] |
a,
Definitionsbereich ist [mm] x^2+y^2 \not= [/mm] 0
b,
ich würde nein sagen, da ln(0) nicht definiert ist. Aber ob das als Begründung reicht.
c,
Das totale Differential ist doch: [mm] dz=f_x*dx+f_y*dy
[/mm]
[mm] dz=\bruch{2x}{x^2+y^2}*dx +\bruch{2y}{x^2+y^2}*dy
[/mm]
d,
[mm] f_x_x=\bruch{-2x^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2} f_x_x(P_0)=4/25
[/mm]
[mm] f_y_y=\bruch{-2y^2+2x^2}{(x^2+y^2)^2} f_y_y(P_0)=-6/25
[/mm]
[mm] f_x_y=f_y_x=\bruch{-4xy}{(x^2+y^2)^2} f_x_y(P_0)-8/25
[/mm]
[mm] f-x(P_0)=2/5 f_y(P0)=4/5
[/mm]
[mm] T(x,y)=ln(5)+2/5(x-1)+4/5(x-1)+1/2*[4/25(x-1)^2+2*(-8/25)(x-1)(y-2)+(-6/25)(y-2)^2]
[/mm]
Kann mir jemand sagen, ob ich das soweit richtig emacht habe.
Vielen Dank
|
|
| |
|
Hallo marc1001,
> [mm]z=f(x,y)=ln(x^2+y^2)[/mm]
>
> a, Definitionsbereich angeben
> b, Lässt sich f in der Stelle [mm](x_0,y_0)=(0;=)[/mm] stetig
> fortsetzten?,
Du meinst sicher [mm](x_0,y_0)=(0,\red{0})[/mm]
> Begründe!
> c,Das totale Differential von f
> dTaylorreihe von f in [mm]P_0(1,2)[/mm]
> a,
> Definitionsbereich ist [mm]x^2+y^2 \not=[/mm] 0
Der Definitionsbereich ist doch eine Menge, schreibe das mal schöner auf: [mm]\mathbb{D}=\IR^2\setminus\{(0,0)\}[/mm] oder ähnlich ...
Du meinst es zwar richtig, aber das ist sehr kraus aufgeschrieben...
>
> b,
> ich würde nein sagen, da ln(0) nicht definiert ist. Aber
> ob das als Begründung reicht.
Natürlich nicht!
Die Funktion [mm]g(x)=\frac{x^2-9}{x-3}[/mm] ist in [mm]x=3[/mm] auch nicht definiert, kann aber durch die Festlegung [mm]f(3):=6[/mm] stetig fortgesetzt werden ...
>
> c,
> Das totale Differential ist doch: [mm]dz=f_x*dx+f_y*dy[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]dz=\bruch{2x}{x^2+y^2}*dx +\bruch{2y}{x^2+y^2}*dy[/mm]
Soweit erstmal Anmerkungen von mir 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 01.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
Das mit der stetigen Fortsetzbarkeit verstehe ich nicht.
Außerdem finde ich zu diesem Thema nur Sachen für eine Funktion f(x) und nichts über eine Funktion f(x,y)
Für ersteres habe ich soweit herausgefunden, daß linker und rechter Grenzwert wohl gleich seien müssen.
Kann mir jemand bitte damit helfen
Gruß
Malo
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Das mit der stetigen Fortsetzbarkeit verstehe ich nicht.
> Außerdem finde ich zu diesem Thema nur Sachen für eine
> Funktion f(x) und nichts über eine Funktion f(x,y)
>
> Für ersteres habe ich soweit herausgefunden, daß linker
> und rechter Grenzwert wohl gleich seien müssen.
Ja, im eindimensionalen.
Da kannst du dich einer Stelle [mm]x_0[/mm] ja auf der x-Achse nur von links oder rechts nähern.
Im zweidim. kannst du dich einer Stelle [mm](x_0,y_0)[/mm] auf unendlich vielen Wegen nähern, auf Geraden im Schlängelkurs ...
Hier musst du untersuchen, ob auf beliebigem Wege [mm](x,y)\to (0,0)[/mm] sich ein- und derselbe (Grenz-)Wert [mm]\alpha[/mm] ergibt, dann könntest du du f durch die Def. [mm]f(0,0):=\alpha[/mm] stetig in [mm](0,0)[/mm] fortsetzen.
Existiert der GW auf einem der Wege nicht oder findest du 2 "Kurse", bei denen sich verschiedene Werte ergeben, so kannst du nicht stetig ergänzen.
>
> Kann mir jemand bitte damit helfen
> Gruß
> Malo
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Die Definitionslücke liegt ja bei [mm] x^2+y^2=0 [/mm]
Ok, also würde ich erst x dann y gegen 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}ln(x^2+y^2)
[/mm]
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}ln(x^2+y^2)
[/mm]
Sind dann nicht beide Grenzwerte gleich. Somit lässt sich die Funktion also stetig fortsetzt ?
oder nicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 18.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Mo 18.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo marc1001,
> [mm]z=f(x,y)=ln(x^2+y^2)[/mm]
> dTaylorreihe von f in [mm]P_0(1,2)[/mm]
> d,
> [mm]f_x_x=\bruch{-2x^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2} f_x_x(P_0)=4/25[/mm]
Hier hab ich einen anderen Wert heraus.
>
> [mm]f_y_y=\bruch{-2y^2+2x^2}{(x^2+y^2)^2} f_y_y(P_0)=-6/25[/mm]
>
> [mm]f_x_y=f_y_x=\bruch{-4xy}{(x^2+y^2)^2} f_x_y(P_0)-8/25[/mm]
>
> [mm]f-x(P_0)=2/5 f_y(P0)=4/5[/mm]
Hier fehlt die partielle Ableitung von f nach y an der Stelle [mm]P_{0}[/mm]
>
> [mm]T(x,y)=ln(5)+2/5(x-1)+4/5(x-1)+1/2*[(4/25)(x-1)^2+2*(-8/25)(x-1)(y-2)+(-6/25)(y-2)^2][/mm]
Hier hast Du Dich verschrieben:
[mm]T(x,y)=ln(5)+2/5(x-1)+4/5(\blue{y}-1)+1/2*[\red{4/25}(x-1)^2+2*(-8/25)(x-1)(y-2)+(-6/25)(y-2)^2][/mm]
Der rot markierte Wert ist falsch.
>
> Kann mir jemand sagen, ob ich das soweit richtig emacht
> habe.
> Vielen Dank
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
